Bài viết này sẽ là hướng dẫn chi tiết cho bạn về những bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán 12 trang 68, giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
1. Ứng Dụng Véc-tơ Trong Không Gian
1.1. Khái Niệm Véc-tơ Trong Không Gian
Véc-tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Véc-tơ được biểu diễn bằng một mũi tên, điểm đầu là gốc và điểm cuối là ngọn.
1.2. Các Phép Toán Véc-tơ Trong Không Gian
- Cộng véc-tơ: Quy tắc hình bình hành, quy tắc cộng ba véc-tơ.
- Trừ véc-tơ: Véc-tơ đối của véc-tơ.
- Nhân véc-tơ với một số: Véc-tơ cùng phương, véc-tơ ngược hướng.
1.3. Tích Vô Hướng Của Hai Véc-tơ
Tích vô hướng của hai véc-tơ là một số thực, được định nghĩa như sau:
$vec{a} . vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos(vec{a}, vec{b})$Với:
- $|vec{a}|$ là độ dài của véc-tơ $vec{a}$.
- $|vec{b}|$ là độ dài của véc-tơ $vec{b}$.
- $(vec{a}, vec{b})$ là góc giữa hai véc-tơ $vec{a}$ và $vec{b}$.
1.4. Ứng Dụng Của Véc-tơ Trong Không Gian
Véc-tơ được ứng dụng để giải quyết các bài toán hình học trong không gian như:
- Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác, thể tích khối đa diện.
- Xác định vị trí tương đối của các hình học trong không gian.
- Chứng minh các tính chất hình học trong không gian.
2. Bài Tập Minh Họa
2.1. Bài 1:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=asqrt{2}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.
Giải:
- Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
- Dễ dàng chứng minh được $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $BD$.
- Từ đó, ta có $SO$ vuông góc với $OH$.
- Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ bằng góc $widehat{SOH}$.
Tính toán:
- $SO = sqrt{SA^2 – OA^2} = sqrt{(asqrt{2})^2 – (frac{asqrt{2}}{2})^2} = frac{asqrt{6}}{2}$.
- $OH = frac{BD}{2} = frac{asqrt{2}}{2}$.
- $tan(widehat{SOH}) = frac{SO}{OH} = frac{asqrt{6}}{2} : frac{asqrt{2}}{2} = sqrt{3}$.
- Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ bằng $60^circ$.
2.2. Bài 2:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=asqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.
Giải:
- Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
- Dễ dàng chứng minh được $SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
- Từ đó, ta có $SO$ vuông góc với $BD$ và $SO$ vuông góc với $SC$.
- Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ bằng độ dài đoạn thẳng $OH$.
Tính toán:
- $SO = sqrt{SA^2 – OA^2} = sqrt{(asqrt{3})^2 – (frac{asqrt{5}}{2})^2} = frac{asqrt{7}}{2}$.
- $OH = frac{BD}{2} = frac{asqrt{5}}{2}$.
- Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ bằng $frac{asqrt{7}}{2}$.
3. Lưu Ý Quan Trọng
Chuyên gia Toán học Nguyễn Văn A cho biết: “Để giải quyết các bài toán về véc-tơ trong không gian, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về véc-tơ như phép cộng, trừ, nhân véc-tơ với một số, tích vô hướng của hai véc-tơ. Ngoài ra, bạn cũng cần biết cách xác định góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian.”
4. Kết Luận
Bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về véc-tơ trong không gian, cùng với các bài tập minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn về cách ứng dụng véc-tơ để giải quyết các bài toán hình học trong không gian.
5. FAQ
- Câu hỏi 1: Làm sao để xác định góc giữa hai mặt phẳng?
- Câu hỏi 2: Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian?
- Câu hỏi 3: Ứng dụng của véc-tơ trong không gian trong các lĩnh vực khác?
- Câu hỏi 4: Có tài liệu nào khác về véc-tơ trong không gian?
- Câu hỏi 5: Làm sao để tìm kiếm bài giải của các bài toán hình học khác?
6. Gợi ý các câu hỏi khác:
- Bài toán về mặt cầu, mặt trụ, mặt nón.
- Cách xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
- Cách xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
7. Kêu gọi hành động:
Bạn có thể liên hệ với chúng tôi nếu bạn cần hỗ trợ thêm về Giải Toán Hình 12 Trang 68.
Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected]. Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.
Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.