Bài học về hàm số luỹ thừa là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bài 5 trong sách giáo khoa mang đến nhiều dạng bài tập đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề liên quan đến hàm số luỹ thừa. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn cẩm nang chi tiết để Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Bài 5 một cách hiệu quả, giúp bạn chinh phục bài kiểm tra và nâng cao điểm số.
1. Ôn Tập Lý Thuyết Căn Bản: Hàm Số Luỹ Thừa
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần ôn lại kiến thức cơ bản về hàm số luỹ thừa.
Khái niệm: Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng $y = x^n$, trong đó $n$ là một số hữu tỉ và $x$ là biến số.
Tính chất: Hàm số luỹ thừa có các tính chất đặc trưng:
- Đạo hàm: $y’ = nx^{n-1}$
- Tập xác định: Tùy thuộc vào giá trị của $n$, tập xác định của hàm số luỹ thừa có thể là:
- $D = mathbb{R}$ nếu $n$ là số nguyên dương
- $D = mathbb{R}setminus {0}$ nếu $n$ là số nguyên âm
- $D = (0; +infty)$ nếu $n$ là số hữu tỉ không nguyên
- Sự biến thiên: Tùy thuộc vào giá trị của $n$, hàm số luỹ thừa có thể là hàm đồng biến, hàm nghịch biến hoặc hàm không đơn điệu.
Bảng biến thiên: Bảng biến thiên là công cụ trực quan để hiểu rõ sự biến thiên của hàm số luỹ thừa.
Đồ thị: Đồ thị của hàm số luỹ thừa có các dạng đặc trưng, phụ thuộc vào giá trị của $n$.
Ví dụ:
- Hàm số $y = x^2$ là hàm số luỹ thừa với $n = 2$.
- Hàm số $y = sqrt[3]{x}$ là hàm số luỹ thừa với $n = frac{1}{3}$.
2. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Trong Bài 5
Bài 5 trong sách giáo khoa Toán lớp 12 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
2.1. Xác định Tập Xác Định Của Hàm Số Luỹ Thừa
Ví dụ: Xác định tập xác định của hàm số $y = frac{1}{x^3}$.
Cách giải:
- Hàm số xác định khi $x^3 neq 0$.
- Do đó, tập xác định của hàm số là $D = mathbb{R}setminus {0}$.
2.2. Tìm Đạo Hàm Của Hàm Số Luỹ Thừa
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số $y = sqrt[4]{x}$.
Cách giải:
- Viết lại hàm số dưới dạng $y = x^{frac{1}{4}}$.
- Áp dụng công thức đạo hàm: $y’ = frac{1}{4}x^{-frac{3}{4}} = frac{1}{4sqrt[4]{x^3}}$.
2.3. Xét Sự Biến Thiên Của Hàm Số Luỹ Thừa
Ví dụ: Xét sự biến thiên của hàm số $y = x^{frac{2}{3}}$.
Cách giải:
- Tìm đạo hàm: $y’ = frac{2}{3}x^{-frac{1}{3}} = frac{2}{3sqrt[3]{x}}$.
- Xét dấu của đạo hàm:
- $y’ > 0$ khi $x > 0$.
- $y’ < 0$ khi $x < 0$.
- Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +infty)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-infty; 0)$.
2.4. Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Luỹ Thừa
Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3$.
Cách giải:
- Lập bảng giá trị:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ |
- Vẽ đồ thị:
Bảng giá trị và đồ thị hàm số luỹ thừa y=x^3
3. Các Lưu Ý Quan Trọng Khi Giải Bài Tập
- Hiểu rõ lý thuyết: Trước khi giải bài tập, bạn cần nắm vững kiến thức cơ bản về hàm số luỹ thừa, bao gồm định nghĩa, tính chất, bảng biến thiên và đồ thị.
- Luôn kiểm tra tập xác định: Tập xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của $n$, do đó bạn cần lưu ý kiểm tra tập xác định trước khi tính đạo hàm, xét sự biến thiên hoặc vẽ đồ thị.
- Áp dụng đúng công thức: Công thức đạo hàm, bảng biến thiên và các quy tắc về đồ thị là những công cụ quan trọng để giải bài tập. Hãy chắc chắn bạn áp dụng đúng các công thức này.
- Vận dụng linh hoạt các phương pháp: Để giải bài tập hiệu quả, bạn cần vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học, như:
- Sử dụng phương pháp đạo hàm để xét sự biến thiên.
- Sử dụng phương pháp tọa độ để vẽ đồ thị.
- Sử dụng phương pháp giải bất phương trình để tìm nghiệm.
- Luyện tập thường xuyên: Cách tốt nhất để nâng cao kỹ năng giải bài tập là luyện tập thường xuyên. Hãy giải nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và tìm hiểu thêm các dạng bài tập mới.
4. Các Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm sao để xác định tập xác định của hàm số luỹ thừa?
- Tập xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của $n$. Bạn cần kiểm tra điều kiện để biểu thức trong căn bậc $n$ (nếu có) luôn dương hoặc để mẫu số không bằng 0.
- Cách nào để tìm đạo hàm của hàm số luỹ thừa?
- Áp dụng công thức đạo hàm: $y’ = nx^{n-1}$.
- Làm sao để xét sự biến thiên của hàm số luỹ thừa?
- Tìm đạo hàm của hàm số, xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. Dựa vào dấu của đạo hàm để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.
- Vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa như thế nào?
- Lập bảng giá trị của hàm số, vẽ các điểm tương ứng trên hệ trục tọa độ, sau đó nối các điểm lại với nhau để tạo thành đồ thị của hàm số.
- Hàm số luỹ thừa có những ứng dụng nào trong thực tế?
- Hàm số luỹ thừa được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, y học,… Ví dụ: mô hình tăng trưởng, tính toán lãi suất kép, xác định nồng độ thuốc trong cơ thể.
5. Kết Luận
Giải bài tập Toán lớp 12 bài 5 về hàm số luỹ thừa đòi hỏi bạn phải nắm vững lý thuyết, áp dụng đúng công thức và luyện tập thường xuyên. Hãy sử dụng cẩm nang này như một công cụ hỗ trợ để bạn tự tin chinh phục bài kiểm tra và đạt điểm cao.
Lưu ý: Bài viết này chỉ cung cấp những thông tin cơ bản về hàm số luỹ thừa. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, bạn nên tham khảo thêm các tài liệu chuyên sâu và hỏi ý kiến giáo viên của bạn.