Bài tập về tọa độ điểm vecto lớp 12 là một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, giúp học sinh nắm vững kiến thức về hình học không gian. Việc giải quyết các bài tập này không chỉ giúp bạn đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề.
Tọa Độ Điểm Và Vecto Trong Không Gian Oxyz
Trong không gian Oxyz, một điểm được xác định bởi ba tọa độ (x, y, z). Vecto trong không gian Oxyz được biểu diễn bằng một bộ ba số (a, b, c) và có điểm đầu, điểm cuối.
Tọa độ điểm và vecto
Các Phép Toán Vecto Cơ Bản
Để giải quyết bài tập về tọa độ điểm vecto 12, bạn cần nắm vững các phép toán vecto cơ bản sau:
- Phép cộng vecto: Cho hai vecto u = (a1, b1, c1) và v = (a2, b2, c2), ta có u + v = (a1+a2, b1+b2, c1+c2).
- Phép trừ vecto: Cho hai vecto u = (a1, b1, c1) và v = (a2, b2, c2), ta có u – v = (a1-a2, b1-b2, c1-c2).
- Nhân vecto với một số: Cho vecto u = (a, b, c) và số k, ta có k.u = (ka, kb, kc).
- Tích vô hướng của hai vecto: Cho hai vecto u = (a1, b1, c1) và v = (a2, b2, c2), tích vô hướng của u và v được tính bằng công thức u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2.
Các phép toán vecto cơ bản
Các Dạng Bài Tập Về Tọa Độ Điểm Vecto 12 Và Lời Giải
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về tọa độ điểm vecto lớp 12 và lời giải chi tiết:
Dạng 1: Xác Định Tọa Độ Điểm, Vecto
Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1, 2, 3), B(-2, 0, 1), C(4, 1, -1).
a) Tìm tọa độ vecto AB, AC.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
a) Ta có:
- vecto AB = (-2 – 1, 0 – 2, 1 – 3) = (-3, -2, -2)
- vecto AC = (4 – 1, 1 – 2, -1 – 3) = (3, -1, -4)
b) Gọi M(x, y, z) là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:
- x = (-2 + 4) / 2 = 1
- y = (0 + 1) / 2 = 1/2
- z = (1 – 1) / 2 = 0
Vậy tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC là M(1, 1/2, 0).
Dạng 2: Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng
Bài tập: Cho ba điểm A(1, -2, 1), B(2, 1, -1), C(0, 3, -3). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
Lời giải:
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta cần chứng minh vecto AB và vecto AC cùng phương.
Ta có:
- vecto AB = (2 – 1, 1 – (-2), -1 – 1) = (1, 3, -2)
- vecto AC = (0 – 1, 3 – (-2), -3 – 1) = (-1, 5, -4)
Ta thấy vecto AC = -1 * vecto AB, nên vecto AB và vecto AC cùng phương. Do đó, ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 3: Tính Toán Khoảng Cách, Góc
Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2, -1, 3) và B(1, 0, 2).
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
b) Tính góc giữa hai vecto OA và OB, với O là gốc tọa độ.
Lời giải:
a) Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính bằng công thức:
AB = √[(1 – 2)² + (0 – (-1))² + (2 – 3)²] = √3.
b) Gọi α là góc giữa hai vecto OA và OB. Ta có:
- cosα = (OA . OB) / (|OA| . |OB|)
- OA = (2, -1, 3), OB = (1, 0, 2)
- |OA| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14, |OB| = √(1² + 0² + 2²) = √5
- OA . OB = 2 1 + (-1) 0 + 3 * 2 = 8
Thay vào công thức, ta được:
cosα = 8 / (√14 * √5)
Suy ra, α = arccos(8 / (√14 * √5)).
Khoảng cách và góc giữa hai vecto
Kết Luận
Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về tọa độ điểm vecto lớp 12 và hướng dẫn giải một số dạng bài tập thường gặp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập về tọa độ điểm vecto 12.
FAQs
1. Làm thế nào để nhớ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz?
Trả lời: Bạn có thể liên tưởng công thức này với định lý Pytago trong tam giác vuông.
2. Khi nào thì hai vecto được gọi là cùng phương?
Trả lời: Hai vecto được gọi là cùng phương khi tồn tại một số thực k sao cho vecto này bằng k lần vecto kia.
3. Tích vô hướng của hai vecto có ý nghĩa gì?
Trả lời: Tích vô hướng của hai vecto cho ta biết độ lớn của hình chiếu của vecto này lên vecto kia và ngược lại.
4. Làm thế nào để tính góc giữa hai vecto trong không gian Oxyz?
Trả lời: Sử dụng công thức cosα = (u . v) / (|u| . |v|), trong đó u, v là hai vecto, α là góc giữa chúng.
5. Tôi cần luyện tập thêm ở đâu để nâng cao kỹ năng giải bài tập về tọa độ điểm vecto 12?
Trả lời: Bạn có thể tham khảo sách giáo khoa, sách bài tập Toán lớp 12 hoặc tìm kiếm các bài tập online.
Bạn cần hỗ trợ?
Liên hệ ngay với Giải Bóng để được giải đáp mọi thắc mắc về toán học!
- Số Điện Thoại: 02033846993
- Email: [email protected]
- Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.