Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học phẳng, được ứng dụng rộng rãi trong giải toán và đời sống. Nắm vững kiến thức về phép quay sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Bài viết này cung cấp cho bạn những Bài Tập Về Phép Quay Có Lời Giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán và hiểu sâu hơn về phép biến hình này.
Phép Quay Là Gì?
Phép quay là một phép biến hình trong mặt phẳng, xác định bởi tâm quay và góc quay.
Ví dụ: Cho điểm A và tâm quay O, góc quay 90 độ. Phép quay tâm O, góc 90 độ biến điểm A thành điểm A’ sao cho:
- OA = OA’
- Góc AOA’ bằng 90 độ.
Tính Chất Của Phép Quay
Phép quay có những tính chất quan trọng sau:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Bài Tập Về Phép Quay Cơ Bản
Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O, góc 90 độ.
Lời giải:
- Gọi A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O, góc 90 độ.
- Ta có OA = OA’ và góc AOA’ = 90 độ, suy ra tam giác AOA’ vuông cân tại O.
- Tương tự, tam giác BOB’ và COC’ cũng vuông cân tại O.
- Do đó, tứ giác ABA’B’ là hình chữ nhật.
- Vậy, ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O, góc 90 độ là tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân tại A’.
Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tìm ảnh của hình vuông ABCD qua phép quay tâm O, góc 90 độ.
Lời giải:
- Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép quay tâm O, góc 90 độ.
- Ta có OA = OA’, OB = OB’, OC = OC’, OD = OD’ và góc AOA’ = BOB’ = COC’ = DOD’ = 90 độ.
- Do đó, tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông.
- Vậy, ảnh của hình vuông ABCD qua phép quay tâm O, góc 90 độ là hình vuông A’B’C’D’.
Bài Tập Về Phép Quay Nâng Cao
Bài tập 3: Cho tam giác ABC. Tìm vị trí điểm M sao cho tam giác A’B’C’ là tam giác đều, biết A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm M, góc 60 độ.
Lời giải:
- Để tam giác A’B’C’ là tam giác đều, ta cần có MA’ = MB’ = MC’ và góc A’MB’ = B’MC’ = C’MA’ = 60 độ.
- Điều kiện MA’ = MB’ = MC’ cho ta biết M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.
- Điều kiện góc A’MB’ = B’MC’ = C’MA’ = 60 độ cho ta biết tam giác A’B’C’ đều.
- Do đó, M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’B’C’.
Bài tập 4: Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Gọi M là một điểm di động trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’M, biết A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép quay tâm M, góc 60 độ.
Lời giải:
-
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’M.
-
Ta có IA’ = IB’ = IM và góc A’IB’ = 120 độ (do góc A’MB’ = 60 độ).
-
Dựng hình thoi IA’MB’.
-
Ta có góc A’MB’ = 60 độ, suy ra tam giác A’MB’ đều.
-
Do đó, A’B’ = MB’ = IA’.
-
Suy ra, tam giác IA’B’ đều.
-
Gọi K là trung điểm của A’B’.
-
Ta có IK vuông góc A’B’ và IK = IA’.sqrt(3)/2.
-
Mặt khác, ta có góc A’MA = B’MB = 60 độ (do phép quay).
-
Suy ra, góc A’MB = 120 độ.
-
Do đó, tứ giác A’MBB’ nội tiếp đường tròn đường kính AB.
-
Suy ra, KB = KB’ = AB/2.
-
Ta có IM^2 = IK^2 + KM^2 = IA’^2 3/4 + (KB – BM)^2 = 3/4 R^2 + (AB/2 – R)^2.
-
Vậy, quỹ tích tâm I là đường tròn tâm O’, bán kính R’ = sqrt(3/4 * R^2 + (AB/2 – R)^2), với O’ là trung điểm của OA.
Kết Luận
Bài viết đã cung cấp cho bạn những bài tập về phép quay có lời giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về phép quay và nâng cao khả năng giải toán hình học.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan?
Nếu bạn cần hỗ trợ, hãy liên hệ:
- Số Điện Thoại: 02033846993
- Email: [email protected]
- Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.
Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.