Parabol và đường thẳng là hai dạng đồ thị quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 9 và lớp 12. Việc giải các bài tập về parabol và đường thẳng không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và áp dụng toán học vào thực tiễn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về parabol và đường thẳng, đồng thời hướng dẫn giải chi tiết một số dạng bài tập phổ biến.
Parabol
Định nghĩa và Phương Trình Parabol
Parabol là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cố định (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (gọi là đường chuẩn).
Phương trình tổng quát của parabol:
- (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
Trong đó:
- a, b, c là các hệ số thực
- a ≠ 0 là điều kiện để đồ thị là parabol
Cách Vẽ Parabol
Để vẽ parabol (P): y = ax² + bx + c, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm tọa độ đỉnh I (-b/2a; -Δ/4a) với Δ = b² – 4ac
- Xét dấu của hệ số a:
- a > 0: Parabol quay bề lõm lên trên
- a < 0: Parabol quay bề lõm xuống dưới
- Lập bảng giá trị: Chọn một số giá trị của x xung quanh hoành độ đỉnh, tính toán giá trị y tương ứng và điền vào bảng.
- Vẽ đồ thị: Vẽ các điểm có tọa độ (x, y) vừa tìm được trên mặt phẳng tọa độ Oxy, nối các điểm lại với nhau ta được đồ thị parabol (P).
[image-1|ve-parabol|Cách vẽ parabol|An image illustrating the steps to draw a parabola, including:
- Finding the vertex coordinates.
- Determining the parabola’s orientation based on the coefficient ‘a’.
- Creating a table of values for x and y.
- Plotting the points on the coordinate plane and connecting them to form the parabola.]
Đường Thẳng
Định nghĩa và Phương Trình Đường Thẳng
Đường thẳng là một tập hợp vô số các điểm nằm trên cùng một đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng:
- (d): Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0)
Trong đó:
- A, B, C là các hệ số thực
- A² + B² ≠ 0 là điều kiện để phương trình là đường thẳng
Vị Trí Tương Đối Giữa Parabol và Đường Thẳng
Cho parabol (P): y = ax² + bx + c và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0.
Để xét vị trí tương đối giữa (P) và (d), ta thực hiện các bước sau:
- Giải hệ phương trình gồm phương trình của (P) và (d).
- Xét số nghiệm của hệ phương trình:
- Vô nghiệm: (P) và (d) không cắt nhau
- Một nghiệm: (P) và (d) tiếp xúc nhau
- Hai nghiệm: (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Bài Tập Về Parabol Và Đường Thẳng Có Lời Giải
Bài Tập 1
Cho parabol (P): y = x² – 2x + 1 và đường thẳng (d): y = 2x – 3.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) (nếu có).
Lời giải:
a)
-
Vẽ parabol (P): y = x² – 2x + 1
-
Tọa độ đỉnh I (1; 0)
-
Bảng giá trị:
x -1 0 1 2 3 y 4 1 0 1 4 - Vẽ đồ thị (P)
-
-
Vẽ đường thẳng (d): y = 2x – 3
-
Cho x = 0 => y = -3 => Điểm A(0; -3) thuộc (d)
-
Cho y = 0 => x = 3/2 => Điểm B(3/2; 0) thuộc (d)
-
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị (d)
-
b)
-
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d):
-
Giải hệ phương trình:
y = x² - 2x + 1 y = 2x - 3 -
Ta được: x = 1 hoặc x = 4
-
Với x = 1 => y = -1 => Giao điểm C(1; -1)
-
Với x = 4 => y = 5 => Giao điểm D(4; 5)
-
Vậy (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm C(1; -1) và D(4; 5).
Bài Tập 2
Cho parabol (P): y = -x² + 4x – 3. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) và tiếp xúc với (P).
Lời giải:
-
Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = ax + b (a ≠ 0)
-
Vì (d) đi qua A(1; 0) nên thay x = 1, y = 0 vào phương trình (d) ta được: b = -a
-
Phương trình (d) trở thành: y = ax – a
-
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
-x² + 4x - 3 = ax - a-
Tương đương: x² – (a – 4)x + a – 3 = 0 (*)
-
(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép.
-
Điều kiện để (*) có nghiệm kép là Δ = 0
-
Ta có: Δ = (a – 4)² – 4(a – 3) = 0
-
Tương đương: a² – 12a + 28 = 0
-
Giải phương trình ta được: a = 2 hoặc a = 14
-
Với a = 2 => b = -2 => Phương trình (d): y = 2x – 2
-
Với a = 14 => b = -14 => Phương trình (d): y = 14x – 14
Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = 2x – 2 và y = 14x – 14.
Kết luận
Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về parabol và đường thẳng, đồng thời hướng dẫn giải chi tiết một số dạng bài tập phổ biến. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và ôn luyện môn Toán.
FAQ
1. Làm thế nào để xác định được parabol quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
- Xét dấu của hệ số a trong phương trình parabol y = ax² + bx + c:
- a > 0: Parabol quay bề lõm lên trên.
- a < 0: Parabol quay bề lõm xuống dưới.
2. Khi nào đường thẳng và parabol tiếp xúc nhau?
- Đường thẳng và parabol tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có nghiệm kép.
3. Làm thế nào để tìm được tọa độ tiếp điểm của đường thẳng và parabol?
- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
- Thay giá trị x tìm được vào phương trình của đường thẳng hoặc parabol để tìm giá trị y tương ứng.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về bài tập về parabol lớp 10 có lời giải hoặc bài tập về parabol lớp 9 có lời giải? Hãy truy cập vào các liên kết này để biết thêm chi tiết.
Nếu bạn cần hỗ trợ, hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.