Bài Tập Về Khoảng Cách Trong Hình Giải Tích Oxyz

Puskasvào
Khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian

Bài toán về khoảng cách là một dạng bài tập quen thuộc trong hình học giải tích không gian Oxyz. Để giải quyết hiệu quả dạng bài tập này, ngoài việc nắm vững kiến thức lý thuyết, học sinh cần thường xuyên luyện tập giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và phương pháp giải chi tiết các dạng bài tập về khoảng cách trong hình học Oxyz.

Các Công Thức Tính Khoảng Cách Cần Nhớ

Để giải quyết các bài tập về khoảng cách trong không gian Oxyz, bạn cần nắm vững một số công thức tính khoảng cách cơ bản sau:

  • Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A(xA, yA, zA) và B(xB, yB, zB) trong không gian Oxyz. Khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:
    AB = √[(xB – xA)² + (yB – yA)² + (zB – zA)²].

  • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Cho điểm M(xM, yM, zM) và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
    d(M, (P)) = |AxM + ByM + CzM + D| / √(A² + B² + C²).

  • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm M(xM, yM, zM) và đường thẳng Δ có phương trình tham số:
    x = x0 + at
    y = y0 + bt
    z = z0 + ct

    Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:
    d(M, Δ) = |[vectơ AM, vectơ u]| / |vectơ u|,
    trong đó A(x0, y0, z0) là một điểm bất kỳ thuộc Δ, vectơ u(a, b, c) là vectơ chỉ phương của Δ.

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ1, Δ2.
    Gọi vectơ u1 là vectơ chỉ phương của Δ1, vectơ u2 là vectơ chỉ phương của Δ2.
    Lấy A1, A2 lần lượt là hai điểm bất kỳ thuộc Δ1, Δ2.
    Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1, Δ2 được tính theo công thức:
    d(Δ1, Δ2) = |[vectơ u1, vectơ u2]. vectơ A1A2| / |[vectơ u1, vectơ u2]|.

Khoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gianKhoảng cách giữa hai điểm A và B trong không gian

Các Dạng Bài Tập Về Khoảng Cách Thường Gặp

Dưới đây là một số dạng bài tập về khoảng cách thường gặp trong hình học Oxyz:

Dạng 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm

Ví dụ: Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(-2, 0, 4) trong không gian Oxyz. Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, ta có:
AB = √[(-2 – 1)² + (0 – 2)² + (4 – 3)²] = √14.

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là √14.

Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ: Cho điểm M(2, -1, 3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có:
d(M, (P)) = |2 2 – (-1) + 2 3 – 1| / √(2² + (-1)² + 2²) = 8 / 3.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là 8/3.

Dạng 3: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Ví dụ: Cho điểm A(1, -2, 0) và đường thẳng d: (x – 2) / 3 = (y + 1) / 2 = z / -1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Giải:
Chọn điểm B(2, -1, 0) thuộc d. Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ u(3, 2, -1).
Ta có vectơ AB(1, 1, 0).

[vectơ AB, vectơ u] = ( -1, 1, 1)
|[vectơ AB, vectơ u]| = √3
|vectơ u| = √14

d(A, d) = |[vectơ AB, vectơ u]| / |vectơ u| = √3 / √14

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là √3 / √14.

Dạng 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: (x + 1) / 2 = (y – 1) / 1 = (z – 2) / -1 và d2: (x – 2) / 1 = (y + 3) / 2 = (z – 1) / 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Giải:
Ta có vectơ chỉ phương của d1 là vectơ u1(2, 1, -1) và vectơ chỉ phương của d2 là vectơ u2(1, 2, 3).
Lấy A(-1, 1, 2) thuộc d1 và B(2, -3, 1) thuộc d2. Ta có vectơ AB(3, -4, -1).

[vectơ u1, vectơ u2] = ( 5, -7, 3)
|[vectơ u1, vectơ u2]| = √83
|[vectơ u1, vectơ u2]. vectơ AB| = 10

d(d1, d2) = |[vectơ u1, vectơ u2]. vectơ A1A2| / |[vectơ u1, vectơ u2]| = 10 / √83

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 10 / √83.

Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2.
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc với mặt phẳng đáy và AA’ = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BB’.
a) Chứng minh rằng (A’CM) vuông góc với (ABC).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’CM).

Kết Luận

Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và phương pháp giải các dạng bài tập về khoảng cách trong hình học Oxyz. Để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn nên thường xuyên luyện tập giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó, bạn cũng có thể tham khảo thêm các tài liệu học tập khác hoặc 250 câu oxyz có hd giải để củng cố kiến thức. Chúc bạn học tập hiệu quả!

FAQ

1. Làm thế nào để xác định được vectơ chỉ phương của một đường thẳng trong không gian Oxyz?

Để xác định vectơ chỉ phương của một đường thẳng trong không gian Oxyz, bạn có thể thực hiện một trong hai cách sau:

  • Cách 1: Xác định tọa độ của hai điểm phân biệt bất kỳ thuộc đường thẳng đó. Hiệu số tọa độ của hai điểm đó chính là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
  • Cách 2: Quan sát phương trình của đường thẳng. Nếu đường thẳng được cho bởi phương trình tham số dạng
    x = x0 + at,
    y = y0 + bt,
    z = z0 + ct
    thì vectơ (a, b, c) chính là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

2. Làm thế nào để xác định được phương trình của một mặt phẳng trong không gian Oxyz?

Để xác định phương trình của một mặt phẳng trong không gian Oxyz, bạn cần biết:

  • Tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.
  • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song được tính như thế nào?

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

4. Làm thế nào để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz?

Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, bạn có thể thực hiện một trong hai cách sau:

  • Cách 1: Chứng minh rằng hai đường thẳng đó không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.
  • Cách 2: Chứng minh rằng hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng đó vô nghiệm.

5. Tôi muốn tìm bài tập oxyz có lời giải, bạn có thể gợi ý một số nguồn tài liệu hữu ích không?

Ngoài việc tham khảo các bài tập trong sách giáo khoa, bạn có thể tìm kiếm các bài tập oxyz có lời giải trên các trang web giáo dục uy tín như:

  • Giaibongda.net: Trang web này cung cấp rất nhiều bài tập oxyz có lời giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao.
  • Violympic: Đây là một cuộc thi giải toán trên Internet dành cho học sinh từ lớp 1 đến lớp 12. Trên trang web của Violympic, bạn có thể tìm thấy rất nhiều bài tập oxyz hay và khó.
  • Hocmai.vn, Tuyensinh247.com: Đây là hai trang web giáo dục trực tuyến lớn nhất Việt Nam. Trên hai trang web này, bạn có thể tìm thấy rất nhiều bài giảng, bài tập và đề thi oxyz chất lượng.

Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web.

  • Phương pháp toạ độ trong không gian
  • Phương trình mặt phẳng trong không gian
  • Phương trình đường thẳng trong không gian

Kêu gọi hành động:

Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.