Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi. Bài viết này cung cấp Bài Tập Và Lời Giải Chuyên đề Bất đẳng Thức, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán khó.
Bất Đẳng Thức Cô-si
Bất đẳng thức Cô-si là một trong những bất đẳng thức cơ bản và quan trọng nhất. Nó được ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác.
- Dạng cơ bản: Cho $a, b ge 0$. Ta có $a + b ge 2sqrt{ab}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.
- Dạng tổng quát: Cho $a_1, a_2, …, a_n ge 0$. Ta có $frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n} ge sqrt[n]{a_1a_2…a_n}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1 = a_2 = … = a_n$.
Bài tập bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ Bài Tập Bất Đẳng Thức Cô-si
Bài 1: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = frac{1}{x} + frac{1}{y}$.
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $frac{1}{x}$ và $frac{1}{y}$, ta có:
$frac{1}{x} + frac{1}{y} ge 2sqrt{frac{1}{x} cdot frac{1}{y}} = 2sqrt{frac{1}{xy}}$.
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si, $x + y ge 2sqrt{xy}$, hay $2 ge 2sqrt{xy}$, suy ra $xy le 1$. Do đó, $frac{1}{xy} ge 1$, nên $frac{1}{x} + frac{1}{y} ge 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = 1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2.
Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một bất đẳng thức mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng.
- Dạng cơ bản: Cho $a, b, x, y in mathbb{R}$. Ta có $(ax + by)^2 le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $frac{a}{x} = frac{b}{y}$.
Ví dụ Bài Tập Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki
Bài 2: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $(a + b + c)(frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}) ge 9$.
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(1, 1, 1)$ và $(sqrt{a}, sqrt{b}, sqrt{c})$, ta có:
$(sqrt{a} + sqrt{b} + sqrt{c})^2 le (1^2 + 1^2 + 1^2)(a + b + c) = 3(a + b + c)$.
Tương tự, ta có: $(frac{1}{sqrt{a}} + frac{1}{sqrt{b}} + frac{1}{sqrt{c}})^2 le 3(frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c})$.
Nhân hai bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được: $(a + b + c)(frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}) ge (sqrt{a} cdot frac{1}{sqrt{a}} + sqrt{b} cdot frac{1}{sqrt{b}} + sqrt{c} cdot frac{1}{sqrt{c}})^2 = 9$.
Kết luận
Bài tập và lời giải chuyên đề bất đẳng thức giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải toán. Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản như Cô-si và Bunhiacopxki là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán khó.
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.