Bài tập toán kinh tế đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố và áp dụng các kiến thức lý thuyết vào thực tế. Chương 1 thường là nền tảng cho các chương tiếp theo, bao gồm các khái niệm cơ bản và kỹ thuật giải toán. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một số bài tập toán kinh tế có lời giải chi tiết cho chương 1, giúp bạn hiểu rõ hơn về các khái niệm và kỹ năng cần thiết.
Các Khái Niệm Cần Nắm Vững
1. Hàm Số Toán Kinh Tế
Hàm số là một công cụ toán học quan trọng được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các biến kinh tế. Ví dụ, hàm cầu mô tả mối quan hệ giữa giá cả và số lượng hàng hóa mà người tiêu dùng sẵn sàng mua.
2. Đạo Hàm Và Ứng Dụng
Đạo hàm được sử dụng để tính toán tốc độ thay đổi của một hàm số. Trong toán kinh tế, đạo hàm được sử dụng để xác định điểm tối ưu, điểm cân bằng và các khái niệm khác liên quan đến biến đổi.
3. Tối Ưu Hóa
Tối ưu hóa là quá trình tìm kiếm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số. Trong toán kinh tế, tối ưu hóa được sử dụng để xác định mức sản xuất tối ưu, giá cả tối ưu và các quyết định kinh tế khác.
Bài Tập Toán Kinh Tế Có Lời Giải Chương 1
1. Hàm Cầu Và Hàm Cung
Bài toán: Giả sử hàm cầu của một sản phẩm được cho bởi $Q_d = 100 – 2P$ và hàm cung được cho bởi $Q_s = 20 + 3P$, với $P$ là giá cả và $Q$ là số lượng.
a) Tìm giá cả và số lượng cân bằng.
b) Vẽ đồ thị hàm cầu và hàm cung.
Lời giải:
a) Để tìm giá cả và số lượng cân bằng, chúng ta cần giải hệ phương trình:
$$
begin{cases}
Q_d = 100 – 2P
Q_s = 20 + 3P
Q_d = Q_s
end{cases}
$$
Thay $Q_d = Q_s$ vào hai phương trình đầu, ta có:
$$
100 – 2P = 20 + 3P
$$
Giải phương trình trên, ta được $P = 16$. Thay $P = 16$ vào bất kỳ một trong hai phương trình đầu, ta được $Q = 68$.
b) Đồ thị hàm cầu và hàm cung:
[shortcode-1-ham-cau-va-ham-cung|Đồ thị hàm cầu và hàm cung|This image shows the demand curve and supply curve for a product. The demand curve slopes downward, indicating that as the price increases, the quantity demanded decreases. The supply curve slopes upward, indicating that as the price increases, the quantity supplied increases. The point where the two curves intersect is the equilibrium point, where the price and quantity are equal. ]
2. Tối Ưu Hóa Lợi Nhuận
Bài toán: Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm có hàm chi phí $TC = 10 + 2Q + Q^2$ và hàm doanh thu $TR = 10Q – Q^2$, với $Q$ là số lượng sản phẩm.
a) Tìm hàm lợi nhuận.
b) Tìm số lượng sản phẩm tối ưu để tối đa hóa lợi nhuận.
Lời giải:
a) Hàm lợi nhuận được tính bằng cách lấy tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí:
$$
pi = TR – TC = (10Q – Q^2) – (10 + 2Q + Q^2) = 8Q – 2Q^2 – 10
$$
b) Để tìm số lượng sản phẩm tối ưu, chúng ta cần tìm điểm cực trị của hàm lợi nhuận. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận và đặt nó bằng 0:
$$
frac{dpi}{dQ} = 8 – 4Q = 0
$$
Giải phương trình trên, ta được $Q = 2$.
3. Đạo Hàm Của Hàm Cầu
Bài toán: Giả sử hàm cầu của một sản phẩm được cho bởi $Q_d = 100 – 2P$.
a) Tính đạo hàm của hàm cầu.
b) Giải thích ý nghĩa của đạo hàm.
Lời giải:
a) Đạo hàm của hàm cầu được tính như sau:
$$
frac{dQ_d}{dP} = -2
$$
b) Đạo hàm của hàm cầu là -2, điều này cho biết tốc độ thay đổi của số lượng cầu theo giá cả. Cụ thể, khi giá cả tăng lên 1 đơn vị, số lượng cầu giảm xuống 2 đơn vị.
Câu Hỏi Thường Gặp
-
Làm sao để giải bài toán tối ưu hóa?
-
Đạo hàm được sử dụng như thế nào trong toán kinh tế?
-
Làm sao để vẽ đồ thị hàm cầu và hàm cung?
Kết Luận
Bài viết này đã cung cấp cho bạn một số bài tập toán kinh tế có lời giải chi tiết cho chương 1, bao gồm các khái niệm cơ bản về hàm số, đạo hàm và tối ưu hóa. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các kiến thức và kỹ năng cần thiết để thành công trong môn toán kinh tế.