Bài Tập Phương Trình Thuần Nhất Có Lời Giải

Phương trình thuần nhất là một dạng bài tập toán học thường gặp trong chương trình Đại số lớp 10. Việc giải quyết các bài tập phương trình thuần nhất đòi hỏi sự nắm vững kiến thức cơ bản và kỹ năng biến đổi linh hoạt. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về phương trình thuần nhất, kèm theo các bài tập có lời giải chi tiết để bạn ôn tập và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Phương Trình Thuần Nhất Là Gì?

Phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai ẩn x và y là phương trình có dạng:

a x² + b x y + c y² = 0 (a, b, c ∈ R và a ≠ 0)

Trong đó, bậc của mỗi hạng tử (x², x * y, y²) đều bằng 2.

Cách Giải Phương Trình Thuần Nhất

Để giải phương trình thuần nhất, ta có thể áp dụng các bước sau:

Xét trường hợp y = 0: Thay y = 0 vào phương trình ban đầu, ta thu được một phương trình bậc hai một ẩn x. Giải phương trình này để tìm nghiệm x.
Xét trường hợp y ≠ 0:
- Chia cả hai vế của phương trình cho y² (lưu ý y ≠ 0 nên phép chia này luôn thực hiện được), ta được:
  a (x/y)² + b (x/y) + c = 0
- Đặt t = x/y, ta thu được một phương trình bậc hai một ẩn t: a t² + b t + c = 0
- Giải phương trình bậc hai ẩn t để tìm nghiệm t.
- Với mỗi giá trị t tìm được, ta thay t = x/y và giải tìm nghiệm (x; y) tương ứng.

Lưu ý:

Khi chia cả hai vế của phương trình cho y², ta cần đảm bảo y ≠ 0.
Sau khi tìm được nghiệm t, ta cần thay lại t = x/y để tìm nghiệm (x; y) của phương trình ban đầu.

Giải phương trình thuần nhất

Bài Tập Phương Trình Thuần Nhất Có Lời Giải

Dưới đây là một số Bài Tập Phương Trình Thuần Nhất Có Lời Giải chi tiết để giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải:

Bài tập 1: Giải phương trình thuần nhất sau: 2x² + 3xy – 5y² = 0

Lời giải:

Trường hợp 1: y = 0
Thay y = 0 vào phương trình, ta được: 2x² = 0 ⇒ x = 0
Vậy phương trình có nghiệm (0; 0)
Trường hợp 2: y ≠ 0
Chia cả hai vế của phương trình cho y², ta được:
2(x/y)² + 3(x/y) – 5 = 0
Đặt t = x/y, ta được phương trình: 2t² + 3t – 5 = 0
Giải phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm: t = 1 và t = -5/2
- Với t = 1, ta có: x/y = 1 ⇒ x = y.
  Vậy phương trình có nghiệm (k; k) với k là số thực bất kỳ.
- Với t = -5/2, ta có: x/y = -5/2 ⇒ x = (-5/2)y.
  Vậy phương trình có nghiệm (-5k; 2k) với k là số thực bất kỳ.

Kết luận: Phương trình 2x² + 3xy – 5y² = 0 có các nghiệm là (0; 0), (k; k) và (-5k; 2k) với k là số thực bất kỳ.

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau là phương trình thuần nhất: (m – 1)x² + 2mxy + (m + 1)y² = 0

Lời giải:

Để phương trình là phương trình thuần nhất, bậc của mỗi hạng tử trong phương trình phải bằng nhau.

Trong phương trình đã cho:

Hạng tử (m – 1)x² có bậc 2.
Hạng tử 2mxy có bậc 2.
Hạng tử (m + 1)y² có bậc 2.

Do đó, phương trình đã cho luôn là phương trình thuần nhất với mọi giá trị của m.

Tìm m để phương trình thuần nhất

Kết Luận

Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về phương trình thuần nhất, cách giải và các bài tập có lời giải chi tiết. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài tập phương trình thuần nhất.

FAQ

Phương trình thuần nhất có bao nhiêu nghiệm?
Số nghiệm của phương trình thuần nhất phụ thuộc vào hệ số của phương trình. Có thể có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.
Khi nào phương trình thuần nhất có nghiệm duy nhất?
Phương trình thuần nhất có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình bậc hai ẩn t thu được sau khi biến đổi có nghiệm kép bằng 0.
Làm thế nào để kiểm tra xem một phương trình có phải là phương trình thuần nhất hay không?
Kiểm tra bậc của mỗi hạng tử trong phương trình. Nếu bậc của tất cả các hạng tử đều bằng nhau thì đó là phương trình thuần nhất.

Cần Hỗ Trợ?

Nếu bạn cần hỗ trợ thêm về bài tập phương trình thuần nhất có lời giải hoặc các vấn đề Toán học khác, hãy liên hệ với chúng tôi:

Số Điện Thoại: 02033846993
Email: [email protected]
Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.

Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7 sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn.