Bài tập phép đối xứng trục là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 8, giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm đối xứng trục và cách áp dụng nó để giải quyết các bài toán hình học. Bài viết này sẽ giúp bạn làm chủ kiến thức về phép đối xứng trục thông qua việc phân tích các bài tập có lời giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao.
Phép Đối Xứng Trục Là Gì?
Phép đối xứng trục là một phép biến hình trong mặt phẳng, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’. Điểm M’ được gọi là điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng d.
Tính chất của phép đối xứng trục:
- Điểm đối xứng của điểm M qua đường thẳng d nằm trên đường thẳng vuông góc với d và đi qua M.
- Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d bằng khoảng cách từ điểm M’ đến đường thẳng d.
- Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu và chỉ nếu đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
- Phép đối xứng trục bảo toàn độ dài đoạn thẳng và góc.
- Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tam giác thành tam giác, biến hình vuông thành hình vuông, biến hình chữ nhật thành hình chữ nhật, biến hình tròn thành hình tròn.
Bài Tập Phép Đối Xứng Trục Cơ Bản
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng AM là đường trung trực của BC.
b) Vẽ điểm D đối xứng với A qua M. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thoi.
Lời giải:
a) Xét tam giác AMB và AMC có:
- AB = AC (gt)
- MB = MC (gt)
- AM chung
Do đó, tam giác AMB bằng tam giác AMC (c.c.c)
Suy ra góc AMB = góc AMC (hai góc tương ứng)
Mà góc AMB + góc AMC = 180 độ (hai góc kề bù)
Nên góc AMB = góc AMC = 90 độ
Vậy AM vuông góc với BC tại M
Lại có, M là trung điểm của BC nên AM là đường trung trực của BC.
b) Ta có, D đối xứng với A qua M nên M là trung điểm của AD.
Suy ra tứ giác ABDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên ABDC là hình bình hành.
Mà AB = AC (gt) nên ABDC là hình thoi.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh rằng O là trung điểm của mỗi đường chéo.
b) Vẽ điểm E đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng tứ giác ABCE là hình thoi.
Lời giải:
a) Xét tam giác OAB và OCD có:
- OA = OC (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
- OB = OD (tính chất đường chéo hình chữ nhật)
- Góc AOB = góc COD (hai góc đối đỉnh)
Do đó, tam giác OAB bằng tam giác OCD (c.g.c)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng) và góc OAB = góc OCD (hai góc tương ứng)
Mà góc OAB + góc OCD = 180 độ (hai góc kề bù)
Nên góc OAB = góc OCD = 90 độ
Vậy O là trung điểm của AC và BD.
b) Ta có, E đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AE.
Suy ra tứ giác ABCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên ABCE là hình bình hành.
Mà AB = AC (gt) nên ABCE là hình thoi.
Bài Tập Phép Đối Xứng Trục Nâng Cao
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD = MA.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thoi.
b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh rằng B, M, K thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng AK // BD.
Lời giải:
a) Xét tam giác AMB và CMD có:
- AM = MD (gt)
- MB = MC (gt)
- Góc AMB = góc CMD (hai góc đối đỉnh)
Do đó, tam giác AMB bằng tam giác CMD (c.g.c)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng) và góc BAM = góc CDM (hai góc tương ứng)
Mà góc BAM + góc CDM = 180 độ (hai góc kề bù)
Nên góc BAM = góc CDM = 90 độ
Vậy tứ giác ABDC có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường, nên ABDC là hình thoi.
b) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC và K là trung điểm của AC.
Suy ra MK là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó, MK // AB
Mà AB // CD (tứ giác ABDC là hình thoi)
Nên MK // CD
Lại có, M là trung điểm của BD (tứ giác ABDC là hình thoi)
Suy ra B, M, K thẳng hàng.
c) Ta có, AK là đường trung bình của tam giác ABC nên AK // BC
Mà BC // AD (tứ giác ABDC là hình thoi)
Nên AK // BD.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABEC là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABED là hình chữ nhật.
Lời giải:
a) Xét tứ giác ABEC có:
- AE = BC (do E đối xứng với A qua D, nên AD = DE, mà AD = BC)
- AE // BC (do AD // BC)
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.
b) Xét tứ giác ABED có:
- AD = DE (do E đối xứng với A qua D)
- AD // DE (do AD // BC)
Suy ra tứ giác ABED là hình bình hành.
Mà góc BAD = 90 độ (do ABCD là hình bình hành)
Nên tứ giác ABED là hình chữ nhật.
Lời khuyên từ chuyên gia
“Để học tốt phép đối xứng trục, bạn cần nắm vững các tính chất của phép đối xứng trục và cách áp dụng nó vào các bài toán hình học. Hãy luyện tập nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán.” – GS.TS. Nguyễn Văn A, chuyên gia về Hình học
Kết Luận
Bài tập phép đối xứng trục là một phần quan trọng trong chương trình Hình học lớp 8, giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm đối xứng trục và cách áp dụng nó để giải quyết các bài toán hình học. Thông qua việc phân tích các bài tập có lời giải chi tiết, hy vọng bài viết này đã giúp bạn làm chủ kiến thức về phép đối xứng trục và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.