Bài tập nhị thức Newton là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là lớp 11. Việc hiểu rõ công thức khai triển nhị thức Newton và cách áp dụng nó để giải các bài tập là rất cần thiết để học tốt phần kiến thức này. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về công thức, các dạng bài tập nhị thức Newton thường gặp và lời giải chi tiết cho từng dạng bài.
Công Thức Nhị Thức Newton
Công thức nhị thức Newton cho phép ta khai triển một biểu thức dạng (a + b)^n thành một tổng các đơn thức với số mũ của a và b thay đổi. Công thức có dạng như sau:
Công thức nhị thức Newton
Trong đó:
- n là một số nguyên dương (bậc của nhị thức).
- a, b là hai số thực bất kỳ.
- C(n, k) là tổ hợp chập k của n phần tử, được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n – k)!).
Dạng Bài Tập Nhị Thức Newton Thường Gặp
Có nhiều dạng bài tập nhị thức Newton khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
- Tìm hệ số của một số hạng trong khai triển nhị thức Newton. Dạng bài này yêu cầu tìm hệ số của một đơn thức có dạng x^m * y^n trong khai triển của (x + y)^p, với m, n, p là các số nguyên dương cho trước.
- Tìm số hạng chứa x^m trong khai triển nhị thức Newton. Dạng bài này yêu cầu tìm số hạng có chứa x^m trong khai triển của (a * x^k + b)^n, với a, b, k, m, n là các số thực cho trước.
- Chứng minh đẳng thức bằng cách sử dụng nhị thức Newton. Dạng bài này yêu cầu chứng minh một đẳng thức toán học bằng cách áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton.
- Ứng dụng nhị thức Newton để giải các bài toán tổ hợp. Nhị thức Newton có thể được sử dụng để giải quyết một số bài toán đếm trong toán học tổ hợp.
Bài Tập Nhị Thức Newton Có Lời Giải
Bài tập 1: Tìm hệ số của x^5 trong khai triển của (2x – 3)^8.
Lời giải:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
(2x – 3)^8 = Σ [C(8, k) (2x)^(8 – k) (-3)^k] với k chạy từ 0 đến 8.
Số hạng chứa x^5 ứng với k = 3. Hệ số của x^5 là:
C(8, 3) 2^(8 – 3) (-3)^3 = -108864.
Vậy hệ số của x^5 trong khai triển là -108864.
Giải bài tập nhị thức Newton
Bài tập 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x^2 + 1/x)^12.
Lời giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
C(12, k) (x^2)^(12 – k) (1/x)^k = C(12, k) * x^(24 – 3k).
Số hạng không chứa x khi 24 – 3k = 0, tức là k = 8.
Vậy số hạng không chứa x là: C(12, 8) = 495.
Bài tập 3: Chứng minh rằng C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2^n.
Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)^n:
(1 + 1)^n = Σ [C(n, k) 1^(n – k) 1^k] = Σ C(n, k) với k chạy từ 0 đến n.
Mặt khác, (1 + 1)^n = 2^n.
Do đó, C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2^n.
Kết Luận
Bài viết đã trình bày công thức, các dạng bài tập nhị thức Newton thường gặp và lời giải chi tiết cho từng dạng bài. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn đọc nắm vững kiến thức về nhị thức Newton và tự tin giải quyết các bài tập liên quan.
FAQ
1. Khi nào nên sử dụng công thức nhị thức Newton?
Công thức nhị thức Newton được sử dụng khi bạn cần khai triển một biểu thức dạng (a + b)^n thành tổng các đơn thức.
2. Làm thế nào để tính tổ hợp chập k của n phần tử?
Tổ hợp chập k của n phần tử được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n – k)!).
3. Có những phương pháp nào khác để giải bài tập nhị thức Newton?
Ngoài việc sử dụng công thức, bạn có thể sử dụng tam giác Pascal để tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Bạn có muốn tìm hiểu thêm về:
Hãy liên hệ với chúng tôi:
Nếu bạn cần hỗ trợ, hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.