Bài tập khả vi 3 hàm là một trong những dạng bài tập quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12, đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức về đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm và kỹ năng giải toán linh hoạt. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về bài tập khả vi 3 hàm, kèm theo lời giải chi tiết cho một số bài tập điển hình, giúp bạn tự tin chinh phục dạng bài tập này.
Hiểu Rõ Về Bài Tập Khả Vi 3 Hàm
Khái niệm “khả vi” của hàm số thể hiện tính chất liên tục và trơn tru của đồ thị hàm số tại một điểm. Một hàm số được gọi là khả vi tại một điểm nếu nó có đạo hàm tại điểm đó. Đối với bài tập khả vi 3 hàm, ta thường gặp các dạng bài toán yêu cầu:
- Xét tính khả vi của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng cho trước.
- Tìm điều kiện của tham số để hàm số khả vi tại một điểm hoặc trên một khoảng.
- Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,…
Phương Pháp Giải Bài Tập Khả Vi 3 Hàm
Để giải quyết hiệu quả các bài tập khả vi 3 hàm, ta cần nắm vững các bước cơ bản sau:
- Kiểm tra điều kiện cần: Hàm số khả vi tại một điểm thì phải liên tục tại điểm đó. Do đó, ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm cần xét.
- Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm cần xét.
- Kiểm tra điều kiện đủ:
- Nếu đạo hàm tại điểm đó tồn tại và hữu hạn, thì hàm số khả vi tại điểm đó.
- Nếu đạo hàm tại điểm đó không tồn tại hoặc có giá trị là vô cùng, thì hàm số không khả vi tại điểm đó.
- Kết luận: Dựa vào kết quả kiểm tra điều kiện đủ, ta đưa ra kết luận về tính khả vi của hàm số.
Bài Tập Minh Họa Và Lời Giải Chi Tiết
Bài tập 1: Xét tính khả vi của hàm số f(x) = |x^3 – 3x| tại điểm x = 1.
Lời giải:
-
Kiểm tra tính liên tục:
- Ta có: lim(x->1-) f(x) = lim(x->1+) f(x) = f(1) = 2.
- Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
-
Tính đạo hàm:
- Với x > 1, f(x) = x^3 – 3x => f'(x) = 3x^2 – 3
- Với x < 1, f(x) = -x^3 + 3x => f'(x) = -3x^2 + 3
- Ta có: f'(1+) = lim(x->1+) f'(x) = 0 và f'(1-) = lim(x->1-) f'(x) = 0.
- Vậy f'(1) = 0.
-
Kiểm tra điều kiện đủ: Đạo hàm f'(1) tồn tại và hữu hạn.
-
Kết luận: Hàm số f(x) khả vi tại x = 1.
Bài tập 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số g(x) = { x^2 + mx, x >= 1; 2x – 1, x < 1 khả vi tại x = 1.
Lời giải:
-
Kiểm tra tính liên tục:
- lim(x->1-) g(x) = lim(x->1-) (2x – 1) = 1.
- lim(x->1+) g(x) = lim(x->1+) (x^2 + mx) = 1 + m.
- g(1) = 1 + m.
- Để g(x) liên tục tại x = 1, ta cần có: lim(x->1-) g(x) = lim(x->1+) g(x) = g(1) <=> m = 0.
-
Tính đạo hàm (với m = 0):
- Với x > 1, g(x) = x^2 => g'(x) = 2x.
- Với x < 1, g(x) = 2x – 1 => g'(x) = 2.
- Ta có: g'(1+) = lim(x->1+) g'(x) = 2 và g'(1-) = lim(x->1-) g'(x) = 2.
- Vậy g'(1) = 2.
-
Kiểm tra điều kiện đủ: Đạo hàm g'(1) tồn tại và hữu hạn.
-
Kết luận: Với m = 0, hàm số g(x) khả vi tại x = 1.
Mẹo Nhỏ Giúp Bạn Ghi Nhớ
Để nhớ lâu hơn về bài tập khả vi 3 hàm, bạn có thể liên tưởng đến hình ảnh một đường trượt. Nếu đường trượt trơn tru, không có điểm gãy hay nhọn, thì đó là một hàm số khả vi. Ngược lại, nếu đường trượt có điểm gãy, nhọn, thì hàm số không khả vi tại điểm đó.
Hàm số khả vi
Hàm số không khả vi
Kết Luận
Bài tập khả vi 3 hàm là một dạng bài tập quan trọng, đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán linh hoạt. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dạng bài tập này và tự tin hơn khi giải quyết chúng.
Câu Hỏi Thường Gặp
-
Làm thế nào để xác định nhanh một hàm số có khả vi hay không?
Ngoài việc sử dụng định nghĩa và tính toán đạo hàm, bạn có thể dựa vào một số đặc điểm của hàm số để nhận biết nhanh chóng:
- Hàm đa thức luôn khả vi trên toàn tập xác định.
- Hàm phân thức, hàm chứa căn, hàm mũ, hàm logarit khả vi trên từng khoảng xác định của nó.
- Hàm số không liên tục tại một điểm thì chắc chắn không khả vi tại điểm đó.
-
Có phải mọi hàm số liên tục đều khả vi?
Không, điều này không đúng. Có những hàm số liên tục trên toàn tập xác định nhưng không khả vi tại một số điểm. Ví dụ điển hình là hàm số y = |x| liên tục trên R nhưng không khả vi tại x = 0.
-
Ứng dụng của đạo hàm trong giải bài tập khả vi 3 hàm là gì?
Đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc xét tính khả vi của hàm số. Ngoài ra, đạo hàm còn được sử dụng để:
- Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
- Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn cho trước.
Tìm Hiểu Thêm
Bạn đọc có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên website Giải Bóng để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong giải bài tập:
Liên Hệ
Nếu bạn cần hỗ trợ thêm về bài tập khả vi 3 hàm hoặc các vấn đề liên quan đến toán học, hãy liên hệ với chúng tôi:
- Số Điện Thoại: 02033846993
- Email: [email protected]
- Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.
Chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn 24/7.