Bài Tập Hàm Mật Độ Xác Suất Có Lời Giải

Puskasvào

Hàm mật độ xác suất là một khái niệm quan trọng trong xác suất thống kê, việc luyện tập thông qua Bài Tập Hàm Mật độ Xác Suất Có Lời Giải sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những bài tập hàm mật độ xác suất có lời giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao, cùng với những phân tích chuyên sâu giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của chúng.

Hiểu rõ về Hàm Mật Độ Xác Suất

Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function – PDF) được sử dụng để mô tả xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị cụ thể. Khác với biến ngẫu nhiên rời rạc, xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục tại một điểm cụ thể luôn bằng 0. Do đó, ta sử dụng hàm mật độ xác suất để tính xác suất biến ngẫu nhiên rơi vào một khoảng giá trị nhất định.

Bài Tập Hàm Mật Độ Xác Suất Cơ Bản

Dưới đây là một số bài tập hàm mật độ xác suất cơ bản có lời giải:

  • Bài tập 1: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) = 2x trên khoảng [0,1] và bằng 0 ở các giá trị khác. Tính xác suất P(0.2 < X < 0.5).

    • Lời giải: P(0.2 < X < 0.5) = ∫0.20.5 2x dx = [x2]0.20.5 = 0.52 – 0.22 = 0.21

  • Bài tập 2: Một biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) = k trên khoảng [2,5] và bằng 0 ở các giá trị khác. Tìm giá trị của k.

    • Lời giải: Để f(x) là hàm mật độ xác suất, tích phân của nó trên toàn bộ miền giá trị phải bằng 1. ∫25 k dx = k[x]25 = 3k = 1. Vậy k = 1/3.

, with the area between x=0.2 and x=0.5 shaded to represent the probability being calculated. The calculation itself is also shown.]

Bài Tập Hàm Mật Độ Xác Suất Nâng Cao

Sau khi đã nắm vững các bài tập cơ bản, hãy cùng xem xét một số bài tập nâng cao hơn:

  • Bài tập 3: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x) = (3/4)(1-x2) trên khoảng [-1,1] và bằng 0 ở các giá trị khác. Tính giá trị kỳ vọng E(X) và phương sai Var(X).

    • Lời giải: E(X) = ∫-11 x (3/4)(1-x2) dx = 0. Var(X) = E(X2) – [E(X)]2. E(X2) = ∫-11 x2 (3/4)(1-x2) dx = 1/5. Vậy Var(X) = 1/5.

  • Bài tập 4: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = λe-λx với x ≥ 0. Đây là phân bố mũ với tham số λ. Tính hàm phân bố tích lũy (CDF) của X.

    • Lời giải: Hàm phân bố tích lũy F(x) = P(X ≤ x) = ∫0x λe-λt dt = 1 – e-λx.

Ứng Dụng Của Hàm Mật Độ Xác Suất

Hàm mật độ xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong lĩnh vực tài chính để mô hình hóa lợi nhuận của cổ phiếu, trong kỹ thuật để dự đoán tuổi thọ của thiết bị, và trong khoa học xã hội để phân tích các hiện tượng xã hội.

“Việc hiểu rõ hàm mật độ xác suất là nền tảng cho việc phân tích dữ liệu và ra quyết định trong nhiều lĩnh vực,” – Ông Nguyễn Văn A, Giáo sư Thống kê, Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Kết luận

Bài tập hàm mật độ xác suất có lời giải là công cụ hữu ích giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm mật độ xác suất. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn áp dụng kiến thức này vào thực tế một cách hiệu quả.

FAQ

  1. Hàm mật độ xác suất khác gì với hàm phân bố tích lũy?
  2. Làm thế nào để tính xác suất từ hàm mật độ xác suất?
  3. Ý nghĩa của giá trị kỳ vọng và phương sai trong hàm mật độ xác suất là gì?
  4. Hàm mật độ xác suất được ứng dụng như thế nào trong thực tế?
  5. Có những loại hàm mật độ xác suất phổ biến nào?
  6. Làm thế nào để xác định một hàm có phải là hàm mật độ xác suất hay không?
  7. Tài liệu nào hữu ích để học thêm về hàm mật độ xác suất?

Gợi ý các bài viết khác có trong web: Phân tích thống kê, Xác suất, Biến ngẫu nhiên.

Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.