Bài tập hai mặt phẳng vuông góc là một dạng bài toán hình học không gian quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Để giải quyết hiệu quả dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, các định lý và tính chất liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc, đồng thời rèn luyện kỹ năng nhận dạng, tư duy logic và khả năng vận dụng linh hoạt các phương pháp giải toán.
Hình ảnh minh họa hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa và Tính chất của Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ.
Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vuông góc:
- Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (β).
- Mặt phẳng (α) vuông góc với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (β) và vuông góc với giao tuyến của (α) và (β).
Một số tính chất quan trọng:
- Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) và vuông góc với giao tuyến của (α) và (β) thì đường thẳng đó vuông góc với (β).
- Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể dựng được duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.
Các Phương Pháp Giải Bài Tập Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
- Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
2. Phương pháp dựng hình:
- Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.
- Dựng mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
3. Phương pháp sử dụng vectơ:
- Chứng minh tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
- Tìm vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng và chứng minh nó vuông góc với một vectơ chỉ phương của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia.
Ví dụ Minh Họa
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2. Chứng minh rằng:
(a) (SAB) ⊥ (SAD)
(b) (SAC) ⊥ (SBD)
Lời giải:
(a) Ta có:
- SA ⊥ (ABCD) (giả thiết)
- AB ⊂ (ABCD)
- Suy ra SA ⊥ AB
Mà AB ⊥ AD (do ABCD là hình vuông), nên AB ⊥ (SAD)
Vì AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SAD) (đpcm)
(b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
- SO ⊥ AC (do tam giác SAC vuông tại S)
- BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
Suy ra AC ⊥ (SBD)
Vì AC ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (SBD) (đpcm)
Kết Luận
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc là một phần quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các phương pháp giải bài tập là chìa khóa để học sinh giải quyết thành công dạng bài tập này.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm thế nào để nhận biết hai mặt phẳng vuông góc?
- Nêu một số tính chất quan trọng của hai mặt phẳng vuông góc?
- Có những phương pháp nào để giải bài tập hai mặt phẳng vuông góc?
Bạn cần hỗ trợ?
Liên hệ với Giải Bóng ngay hôm nay để được tư vấn và giải đáp mọi thắc mắc về toán học và nhiều lĩnh vực khác!
- Số Điện Thoại: 02033846993
- Email: [email protected]
- Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.