Giải Bóng

Bài Tập Cực Trị Hàm Nhiều Biến Có Lời Giải

—

bởi

Puskas
trong

Bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến là một khái niệm quan trọng trong giải tích nhiều biến, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, vật lý và kỹ thuật. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài tập cực trị hàm nhiều biến có lời giải chi tiết, từ đó nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Tìm Hiểu Về Cực Trị Hàm Nhiều Biến

Trước khi đi vào phương pháp giải bài tập, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cực trị của hàm nhiều biến. Giả sử ta có hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D.

  • Điểm M(x0, y0) ∈ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x, y) nếu tồn tại một lân cận V của M sao cho f(x, y) ≤ f(x0, y0) với mọi (x, y) ∈ V ∩ D.
  • Tương tự, điểm M(x0, y0) ∈ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x, y) nếu tồn tại một lân cận V của M sao cho f(x, y) ≥ f(x0, y0) với mọi (x, y) ∈ V ∩ D.

Giá trị f(x0, y0) được gọi là cực đại (hoặc cực tiểu) của hàm số f(x, y).

Phương Pháp Giải Bài Tập Cực Trị Hàm Nhiều Biến

Để tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta có thể áp dụng các bước sau:

  1. Tìm miền xác định D của hàm số.
  2. Tính các đạo hàm riêng cấp một fx(x, y) và fy(x, y).
  3. Giải hệ phương trình fx(x, y) = 0 và fy(x, y) = 0 để tìm các điểm dừng.
  4. Tính các đạo hàm riêng cấp hai fxx(x, y), fyy(x, y) và fxy(x, y).
  5. Với mỗi điểm dừng (x0, y0) tìm được ở bước 3, tính giá trị Δ = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) – [fxy(x0, y0)]2.
    • Nếu Δ > 0 và fxx(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu của hàm số.
    • Nếu Δ > 0 và fxx(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại của hàm số.
    • Nếu Δ < 0 thì (x0, y0) không là điểm cực trị của hàm số (gọi là điểm yên ngựa).
    • Nếu Δ = 0 thì chưa kết luận được, cần phải xét thêm bằng cách khác.

Ví Dụ Minh Họa

Bài toán: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x3 + y3 – 3xy + 4.

Lời giải:

  1. Miền xác định: D = ℝ2 (tập hợp tất cả các cặp số thực (x, y)).

  2. Đạo hàm riêng cấp một:

    • fx(x, y) = 3x2 – 3y
    • fy(x, y) = 3y2 – 3x

  3. Tìm điểm dừng: Giải hệ phương trình:

    • 3x2 – 3y = 0
    • 3y2 – 3x = 0
      Ta tìm được hai điểm dừng là (0, 0) và (1, 1).

  4. Đạo hàm riêng cấp hai:

    • fxx(x, y) = 6x
    • fyy(x, y) = 6y
    • fxy(x, y) = -3

  5. Xét dấu Δ:

    • Tại (0, 0): Δ = (0)(0) – (-3)2 = -9 < 0 => (0, 0) là điểm yên ngựa.
    • Tại (1, 1): Δ = (6)(6) – (-3)2 = 27 > 0 và fxx(1, 1) = 6 > 0 => (1, 1) là điểm cực tiểu.

Kết luận: Hàm số f(x, y) có một điểm cực tiểu là (1, 1) và giá trị cực tiểu là f(1, 1) = 3.

Bài Tập Tự Luyện

  1. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 6y + 1.
  2. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x4 + y4 – 4xy.

Kết Luận

Bài viết đã trình bày về bài tập cực trị hàm nhiều biến có lời giải chi tiết. Việc hiểu rõ lý thuyết và áp dụng thành thạo phương pháp giải là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị hàm nhiều biến. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích.

Cần hỗ trợ?

Liên hệ với chúng tôi:

  • Số điện thoại: 02033846993
  • Email: [email protected]
  • Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.