Phân phối Bernoulli, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Jacob Bernoulli, là một khái niệm nền tảng trong xác suất thống kê. Nó mô tả xác suất của một biến cố ngẫu nhiên chỉ có hai kết quả khả dĩ: “thành công” hoặc “thất bại”. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ phân phối Bernoulli từ A-Z, từ định nghĩa, công thức, ứng dụng, cho đến các ví dụ minh họa cụ thể.
Định nghĩa Phân Phối Bernoulli
Phân phối Bernoulli là một phân phối xác suất rời rạc, đặc trưng cho các thí nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra, thường được gán nhãn là 1 (thành công) và 0 (thất bại). Xác suất thành công được ký hiệu là p, trong khi xác suất thất bại được ký hiệu là q = 1 – p.
Ví dụ, tung một đồng xu có thể được coi là một thí nghiệm Bernoulli, với “mặt ngửa” là thành công (p) và “mặt úp” là thất bại (q).
Công Thức Và Tham Số
Phân phối Bernoulli được xác định bởi một tham số duy nhất, p, là xác suất thành công. Hàm khối lượng xác suất (PMF) của phân phối Bernoulli được cho bởi:
P(X = x) = p^x * (1 – p)^(1-x)
trong đó:
- X là biến ngẫu nhiên Bernoulli.
- x nhận giá trị 0 (thất bại) hoặc 1 (thành công).
Ví dụ, nếu xác suất tung được mặt ngửa của một đồng xu là 0.6 (p = 0.6), thì xác suất tung được mặt úp là 0.4 (q = 1 – p = 0.4).
Ứng Dụng Của Phân Phối Bernoulli
Phân phối Bernoulli được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Thống kê: Phân tích dữ liệu nhị phân, ước lượng tỷ lệ.
- Khoa học máy tính: Học máy, xử lý ngôn ngữ tự nhiên.
- Tài chính: Mô hình hóa rủi ro tín dụng, dự đoán thị trường chứng khoán.
- Y học: Dự đoán kết quả điều trị, phân tích dữ liệu lâm sàng.
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về phân phối Bernoulli, hãy xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Một cầu thủ bóng rổ có tỷ lệ ném phạt thành công là 80%. Xác suất anh ta ném phạt thành công trong lần ném tiếp theo là bao nhiêu?
Trong trường hợp này, p = 0.8. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:
P(X = 1) = 0.8^1 * (1 – 0.8)^(1-1) = 0.8
Vậy xác suất cầu thủ ném phạt thành công là 80%.
Ví dụ 2: Một công ty gửi email quảng cáo đến 1000 khách hàng tiềm năng. Tỷ lệ mở email của chiến dịch trước đó là 5%. Sử dụng phân phối Bernoulli, hãy tính xác suất có ít nhất một người mở email trong chiến dịch này.
Để giải bài toán này, ta tính xác suất không có ai mở email, sau đó lấy phần bù.
Xác suất một người không mở email là 1 – 0.05 = 0.95. Xác suất 1000 người đều không mở email là 0.95^1000, một con số cực kỳ nhỏ gần bằng 0.
Vậy, xác suất có ít nhất một người mở email gần như là 100%.
Kết Luận
Bài viết đã cung cấp cái nhìn tổng quan về phân phối Bernoulli, từ định nghĩa, công thức, ứng dụng, cho đến các ví dụ minh họa. Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm quan trọng này trong xác suất thống kê. Để tìm hiểu sâu hơn về các phân phối xác suất khác như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, bạn có thể tham khảo các bài viết giải bài tập nguyên lý thống kê, bài tập thống kê học chương 3 có giải, bài tập xác suất đầy đủ có lời giải.