Khảo sát đồ thị hàm số bậc 3 là một trong những dạng bài tập quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 12. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn chi tiết về các bước giải bài toán khảo sát đồ thị hàm số bậc 3, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể để bạn dễ dàng áp dụng.
Các Bước Khảo Sát Đồ Thị Hàm Số Bậc 3
Để khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số bậc 3 bất kỳ, ta có thể tuân theo các bước sau:
-
Tìm tập xác định: Hàm số bậc 3 xác định trên toàn bộ tập số thực, tức là D = R.
-
Xét sự biến thiên:
- Tính đạo hàm y’ của hàm số.
- Tìm nghiệm của phương trình y’ = 0. Các nghiệm này được gọi là các điểm cực trị của hàm số.
- Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm các khoảng đồng biến, nghịch biến, các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có).
-
Tìm các điểm đặc biệt:
- Giao điểm với trục tung: Cho x = 0, tìm y.
- Giao điểm với trục hoành: Cho y = 0, giải phương trình bậc 3 để tìm x.
- Điểm uốn: Tính đạo hàm cấp hai y” của hàm số. Điểm uốn là nghiệm của phương trình y” = 0.
-
Vẽ đồ thị:
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.
- Biểu diễn các điểm đặc biệt đã tìm được lên hệ trục tọa độ.
- Vẽ đồ thị của hàm số bằng cách nối các điểm đặc biệt theo hướng dẫn của bảng biến thiên.
Ví Dụ Minh Họa
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2
1. Tập xác định: D = R
2. Xét sự biến thiên:
- y’ = 3x^2 – 6x
- y’ = 0 <=> 3x^2 – 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2
- Ta có bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | 0 | + |
| y | +∞ | 2 | 0 | -2 | +∞ |
3. Điểm đặc biệt:
- Giao điểm với trục tung: (0, 2)
- Giao điểm với trục hoành: (1, 0), (1 – √3, 0), (1 + √3, 0)
- Điểm uốn: y” = 6x – 6 = 0 <=> x = 1 => Điểm uốn (1, 0)
4. Vẽ đồ thị:
Kết Luận
Bài viết đã trình bày chi tiết các bước giải bài toán khảo sát đồ thị hàm số bậc 3, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết dạng bài tập này.
Mô tả các tình huống thường gặp câu hỏi
- Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm trong bảng biến thiên.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt và so sánh.
- Xác định số nghiệm của phương trình f(x) = m: Vẽ đường thẳng y = m trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số f(x), số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình.
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web.
- Bài tập trắc nghiệm về khảo sát hàm số bậc 3
- Khảo sát đồ thị hàm số trùng phương
- Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số
Kêu gọi hành động:
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.