Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Bí mật chinh phục mọi thử thách

Puskasvào

Bạn muốn học cách giải bài toán bằng cách lập phương trình một cách dễ dàng? Đừng lo, bài viết này sẽ là “cẩm nang” giúp bạn chinh phục mọi thử thách!

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách lập phương trình từ bài toán, cách giải phương trình, và một số ví dụ minh họa cụ thể.

1. Lập phương trình từ bài toán

Bước đầu tiên và cũng là bước quan trọng nhất để giải bài toán bằng phương trình là lập phương trình từ bài toán. Để làm điều này, bạn cần:

1.1. Xác định ẩn số

Ẩn số là đại lượng chưa biết mà bài toán yêu cầu tìm. Hãy đặt ẩn số bằng một chữ cái nào đó, thường là x, y, z,…

1.2. Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số

Bài toán thường cho các mối quan hệ giữa các đại lượng khác với ẩn số. Hãy sử dụng những mối quan hệ này để biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số.

1.3. Dựa vào nội dung bài toán để viết phương trình

Sử dụng các mối quan hệ, các dữ kiện đã biết trong bài toán để viết phương trình. Phương trình này sẽ thể hiện chính xác nội dung của bài toán.

2. Giải phương trình

Sau khi lập được phương trình, bạn cần giải phương trình để tìm giá trị của ẩn số.

2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là các số đã biết và a ≠ 0. Để giải phương trình này, bạn chỉ cần chuyển vế các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng tự do sang vế còn lại, sau đó chia cả hai vế cho a.

2.2. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số đã biết và a ≠ 0. Để giải phương trình này, bạn có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

ax + by = c
dx + ey = f

Trong đó a, b, c, d, e, f là các số đã biết. Để giải hệ phương trình này, bạn có thể sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp Cramer.

3. Ví dụ minh họa

3.1. Bài toán 1

Bài toán: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h. Sau đó, người đó quay lại A với vận tốc 10 km/h. Biết thời gian đi từ A đến B nhiều hơn thời gian đi từ B về A là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Giải:

  • Bước 1: Xác định ẩn số.

    • Gọi x là quãng đường AB (km).

  • Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số.

    • Thời gian đi từ A đến B: t1 = x/12 (giờ)
    • Thời gian đi từ B về A: t2 = x/10 (giờ)

  • Bước 3: Dựa vào nội dung bài toán để viết phương trình.

    • Ta có: t1 - t2 = 0,5 (vì 30 phút = 0,5 giờ)
    • Thay t1 và t2 vào phương trình trên, ta được: x/12 - x/10 = 0,5

  • Bước 4: Giải phương trình.

    • Quy đồng mẫu số, ta được: 5x/60 - 6x/60 = 0,5
    • Rút gọn, ta được: -x/60 = 0,5
    • Nhân cả hai vế cho -60, ta được: x = -30

  • Kết luận: Quãng đường AB là 30 km.

3.2. Bài toán 2

Bài toán: Hai người cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 10 giờ, sau đó người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ thì họ làm được 75% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Giải:

  • Bước 1: Xác định ẩn số.

    • Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (giờ)
    • Gọi y là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc (giờ)

  • Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số.

    • Khả năng làm việc của người thứ nhất trong 1 giờ: 1/x
    • Khả năng làm việc của người thứ hai trong 1 giờ: 1/y

  • Bước 3: Dựa vào nội dung bài toán để viết phương trình.

    • Phương trình 1: 8(1/x + 1/y) = 1 (hai người cùng làm trong 8 giờ xong công việc)
    • Phương trình 2: 10(1/x) + 6(1/y) = 0,75 (người thứ nhất làm 10 giờ, người thứ hai làm 6 giờ được 75% công việc)

  • Bước 4: Giải hệ phương trình.

    • Phương trình 1: 8/x + 8/y = 1

    • Phương trình 2: 10/x + 6/y = 0,75

    • Nhân phương trình 1 cho -3, ta được: -24/x - 24/y = -3

    • Nhân phương trình 2 cho 4, ta được: 40/x + 24/y = 3

    • Cộng hai phương trình lại, ta được: 16/x = 0

    • Suy ra: x vô nghiệm.

    • Lưu ý: Trường hợp này cho thấy hai người không thể cùng làm việc trong 8 giờ thì xong công việc, vì nếu người thứ nhất làm một mình trong 10 giờ, sau đó người thứ hai làm tiếp trong 6 giờ thì họ làm được 75% công việc, tức là người thứ hai làm việc hiệu quả hơn người thứ nhất.

4. Kết luận

Bài viết này đã hướng dẫn bạn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình một cách đơn giản và dễ hiểu. Bằng cách xác định ẩn số, biểu diễn các đại lượng khác qua ẩn số và viết phương trình, bạn có thể giải quyết được nhiều bài toán phức tạp.

Hãy nhớ rằng, việc rèn luyện thường xuyên là chìa khóa để chinh phục mọi bài toán.

FAQ

Q1: Tôi nên làm gì nếu tôi gặp khó khăn trong việc lập phương trình?

A1: Hãy đọc kỹ nội dung bài toán và cố gắng tìm mối quan hệ giữa các đại lượng. Bạn có thể vẽ sơ đồ hoặc bảng biểu để giúp bạn hình dung rõ hơn mối quan hệ này.

Q2: Có những phương pháp nào để giải phương trình?

A2: Ngoài các phương pháp đã nêu trong bài viết, bạn có thể tham khảo thêm các phương pháp khác như phương pháp đồ thị, phương pháp đánh giá,…

Q3: Tôi có thể tìm tài liệu học thêm về giải toán bằng cách lập phương trình ở đâu?

A3: Bạn có thể tìm tài liệu học thêm trên các trang web giáo dục, các sách giáo khoa hoặc tham khảo ý kiến của giáo viên.

Q4: Làm sao để biết mình đã giải đúng hay chưa?

A4: Sau khi giải xong, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị của ẩn số vào phương trình ban đầu. Nếu kết quả thỏa mãn phương trình thì bạn đã giải đúng.

Q5: Làm sao để luyện tập giải toán bằng cách lập phương trình hiệu quả?

A5: Hãy luyện tập thường xuyên bằng cách giải nhiều bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm bài tập trong sách giáo khoa, trên mạng hoặc tham khảo ý kiến của giáo viên.