Bài 6 Trang 44 Sgk Giải Tích 12 là một bài tập quan trọng giúp học sinh lớp 12 ôn tập và củng cố kiến thức về hàm số, đặc biệt là ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích bài toán, hướng dẫn cách giải chi tiết, đồng thời mở rộng kiến thức về ứng dụng của hàm số trong đời sống.
Phân Tích Bài Toán và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Đề bài: Một công ty muốn thiết kế một thùng chứa hình trụ (có nắp) bằng tôn có thể tích V cho trước. Hãy xác định bán kính đáy và chiều cao của thùng sao cho tốn ít nguyên vật liệu nhất, tức là diện tích xung quanh của thùng nhỏ nhất.
Phân tích:
- Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh thùng hình trụ khi biết thể tích V không đổi.
- Đây là bài toán ứng dụng cực trị của hàm số vào thực tế.
Hướng dẫn giải:
-
Thiết lập hàm số:
- Gọi bán kính đáy thùng là r (r > 0), chiều cao thùng là h (h > 0).
- Thể tích thùng: V = πr²h.
- Diện tích xung quanh thùng: S = 2πrh + 2πr².
- Từ biểu thức thể tích, rút h theo r và V: h = V/(πr²).
- Thay h vào biểu thức diện tích, ta được hàm số S theo biến r: S(r) = 2V/r + 2πr² (r > 0).
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
- Tính đạo hàm S'(r).
- Giải phương trình S'(r) = 0 để tìm nghiệm r₀.
- Xét dấu S'(r) hoặc tính S”(r₀) để kiểm tra r₀ có là điểm cực tiểu của hàm số S(r) hay không.
- Tính S(r₀) và h₀ = V/(πr₀²) để tìm diện tích và chiều cao tương ứng.
-
Kết luận:
- So sánh kết quả tìm được với điều kiện thực tế của bài toán.
- Rút ra kết luận về bán kính đáy và chiều cao của thùng sao cho tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Ý Nghĩa Thực Tế Của Bài Toán
Bài toán này có ý nghĩa thực tiễn rất lớn, đặc biệt trong lĩnh vực sản xuất và kinh doanh. Việc tối ưu hóa diện tích vật liệu sử dụng khi thiết kế thùng chứa giúp:
- Tiết kiệm chi phí sản xuất: Sử dụng ít nguyên vật liệu hơn đồng nghĩa với việc giảm chi phí sản xuất, từ đó tăng lợi nhuận cho doanh nghiệp.
- Bảo vệ môi trường: Giảm thiểu lượng nguyên liệu sử dụng cũng góp phần bảo vệ môi trường, giảm thiểu rác thải công nghiệp.
Mở Rộng Kiến Thức: Ứng Dụng Của Hàm Số Trong Đời Sống
Hàm số là một công cụ toán học mạnh mẽ được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, ví dụ như:
- Kinh tế: Dự đoán doanh thu, tối ưu hóa lợi nhuận, phân tích thị trường,…
- Vật lý: Mô tả chuyển động của vật thể, tính toán quãng đường, vận tốc, gia tốc,…
- Khoa học máy tính: Xây dựng thuật toán, xử lý dữ liệu, mô phỏng,…
Việc nắm vững kiến thức về hàm số và ứng dụng của nó sẽ giúp chúng ta:
- Giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.
- Nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo.
- Mở rộng hiểu biết về thế giới xung quanh.
Kết Luận
Bài 6 trang 44 SGK Giải Tích 12 không chỉ giúp học sinh ôn tập kiến thức về hàm số mà còn cho thấy được ứng dụng thực tiễn của toán học trong đời sống. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn đọc hiểu rõ hơn về bài toán và có thêm kiến thức bổ ích về ứng dụng của hàm số.
Bạn có muốn tìm hiểu thêm về các bài tập liên quan? Hãy xem giải bài 44 sgk toán 7 trang 125 hoặc giải bài 12 trang 11 sgk toán 9 tập 1 để củng cố kiến thức toán học của mình nhé!
Câu hỏi thường gặp
1. Bài toán này có thể được giải bằng phương pháp nào khác ngoài việc sử dụng đạo hàm?
Trả lời: Có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số diện tích.
2. Ý nghĩa của việc xét dấu đạo hàm trong bài toán này là gì?
Trả lời: Việc xét dấu đạo hàm giúp xác định xem nghiệm tìm được có là điểm cực tiểu của hàm số hay không, từ đó khẳng định được giá trị nhỏ nhất của diện tích.
3. Bài toán có thể được mở rộng như thế nào?
Trả lời: Có thể thay đổi hình dạng thùng chứa (hình hộp chữ nhật, hình cầu,…) hoặc xét đến các yếu tố khác như độ dày của tôn để tăng tính thực tế cho bài toán.
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web
Thông tin liên hệ
Để được hỗ trợ chi tiết hơn về các vấn đề liên quan đến toán học hoặc các bài tập khác, bạn vui lòng liên hệ:
- Số Điện Thoại: 02033846993
- Email: [email protected]
- Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam.
Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7 sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của bạn!