Bài 4 Trang 90 Sgk Giải Tích 12 là một trong những bài học quan trọng giúp bạn nắm vững kiến thức về đạo hàm, một khái niệm cốt lõi trong môn giải tích. Bài học này tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn và đồ thị hàm số.
1. Khái Niệm Đạo Hàm
Trước khi đi sâu vào bài 4, chúng ta cần hiểu rõ về đạo hàm. Đạo hàm là một khái niệm toán học thể hiện tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể. Nó cho phép chúng ta xác định được sự gia tăng hoặc giảm của hàm số, cũng như hướng của đồ thị hàm số tại điểm đó.
Công thức tính đạo hàm:
f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/hVí dụ:
Hàm số y = x^2 có đạo hàm là y’ = 2x. Điều này cho thấy tốc độ thay đổi của hàm số y = x^2 tại điểm x bằng 2x.
2. Bài 4 Trang 90 SGK Giải Tích 12: Ứng Dụng Đạo Hàm
Bài 4 trang 90 SGK Giải tích 12 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn và đồ thị hàm số.
2.1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Đạo hàm giúp ta xác định được tính đơn điệu của hàm số, tức là hàm số tăng hay giảm trên một khoảng xác định.
Quy tắc:
- Hàm số f(x) tăng trên khoảng (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
- Hàm số f(x) giảm trên khoảng (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).
2.2. Cực Trị Của Hàm Số
Cực trị của hàm số là những điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ.
Quy tắc:
- Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x = a nếu f'(a) = 0 và f”(a) < 0.
- Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = a nếu f'(a) = 0 và f”(a) > 0.
2.3. Điểm Uốn Của Hàm Số
Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số đổi hướng cong.
Quy tắc:
- Hàm số f(x) có điểm uốn tại điểm x = a nếu f”(a) = 0 và f”'(a) ≠ 0.
2.4. Đồ Thị Hàm Số
Đạo hàm giúp ta vẽ đồ thị hàm số chính xác hơn.
Quy tắc:
- Tìm các điểm cực trị và điểm uốn của hàm số.
- Xác định tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng.
- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các điểm cực trị, điểm uốn và tính đơn điệu.
3. Ví Dụ Minh Họa
Bài toán:
Cho hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2.
a) Tìm đạo hàm y’.
b) Xác định tính đơn điệu của hàm số.
c) Tìm cực trị của hàm số.
d) Tìm điểm uốn của hàm số.
e) Vẽ đồ thị hàm số.
Giải:
a) y’ = 3x^2 – 6x.
b) y’ = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.
- y’ > 0 <=> x < 0 hoặc x > 2.
- y’ < 0 <=> 0 < x < 2.
=> Hàm số tăng trên (-∞, 0) và (2, +∞).
=> Hàm số giảm trên (0, 2).
c) y” = 6x – 6.
- y”(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
- y”(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
d) y”’ = 6 ≠ 0 => Hàm số có điểm uốn tại x = 1.
e) Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các điểm cực trị, điểm uốn và tính đơn điệu.
4. Kỹ Thuật Giải Bài Tập
Để giải các bài tập trong bài 4, bạn cần nắm vững các quy tắc về đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn và đồ thị hàm số. Sau đó, áp dụng các bước sau:
- Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
- Bước 2: Tìm các điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Xác định tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng.
- Bước 4: Tìm cực trị của hàm số bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm bậc 2.
- Bước 5: Tìm điểm uốn của hàm số bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm bậc 3.
- Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các điểm cực trị, điểm uốn và tính đơn điệu.
5. Kết Luận
Bài 4 trang 90 SGK Giải tích 12 là một bài học quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng của đạo hàm trong giải tích. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn và đồ thị hàm số, từ đó nâng cao khả năng phân tích và ứng dụng toán học vào thực tế.
FAQ
1. Đạo hàm có ứng dụng gì trong thực tế?
Đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế, y học… Nó giúp ta hiểu rõ hơn về tốc độ thay đổi của các đại lượng, từ đó đưa ra các dự đoán và quyết định chính xác.
2. Làm sao để học tốt đạo hàm?
Để học tốt đạo hàm, bạn cần:
- Nắm vững lý thuyết về đạo hàm.
- Thực hành giải các bài tập liên quan đến đạo hàm.
- Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán thực tế.
3. Có tài liệu nào hỗ trợ học đạo hàm hiệu quả?
Ngoài SGK Giải tích 12, bạn có thể tham khảo các tài liệu khác như sách giáo khoa, tài liệu trực tuyến, video hướng dẫn…
4. Tôi có thể học đạo hàm ở đâu?
Bạn có thể học đạo hàm tại các trường đại học, trung học phổ thông, các trung tâm đào tạo, hoặc tự học thông qua các tài liệu và video hướng dẫn trực tuyến.
5. Ai là người sáng lập ra khái niệm đạo hàm?
Khái niệm đạo hàm được sáng lập bởi nhà toán học người Anh Isaac Newton và nhà toán học người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz vào thế kỷ XVII.
6. Tại sao đạo hàm lại quan trọng?
Đạo hàm là một công cụ toán học mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của các đại lượng, từ đó đưa ra các dự đoán và quyết định chính xác trong nhiều lĩnh vực.
7. Có ứng dụng nào của đạo hàm trong cuộc sống thường ngày?
Đạo hàm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, từ việc xác định tốc độ của một vật thể chuyển động đến việc tối ưu hóa sản xuất trong các nhà máy.
8. Đạo hàm có khó học không?
Việc học đạo hàm có thể khó hoặc dễ tùy thuộc vào khả năng tiếp thu của mỗi người. Tuy nhiên, nếu bạn chăm chỉ và có phương pháp học tập hiệu quả, bạn hoàn toàn có thể nắm vững kiến thức về đạo hàm.