Bài 4 Trang 85 Sgk Giải Tích 12 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh tìm giới hạn của một số hàm số, áp dụng các định lý và công thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.
Tìm Hiểu Về Giới Hạn Của Hàm Số
Giới hạn của hàm số là một khái niệm cơ bản trong giải tích, nó miêu tả hành vi của hàm số khi biến số x tiến gần đến một giá trị nhất định. Nói cách khác, giới hạn của hàm số cho biết giá trị mà hàm số “tiến đến” khi biến số x “tiến gần” đến một giá trị xác định.
Khái niệm giới hạn
Giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến gần đến $a$ được ký hiệu là:
$lim_{x to a} f(x)$
Nếu giá trị của $f(x)$ tiến gần đến một giá trị $L$ khi $x$ tiến gần đến $a$, thì ta nói rằng giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến gần đến $a$ bằng $L$ và viết:
$lim_{x to a} f(x) = L$
Các định lý cơ bản về giới hạn
- Giới hạn của hằng số: $lim_{x to a} c = c$
- Giới hạn của biến số: $lim_{x to a} x = a$
- Giới hạn của tổng: $lim{x to a} [f(x) + g(x)] = lim{x to a} f(x) + lim_{x to a} g(x)$
- Giới hạn của hiệu: $lim{x to a} [f(x) – g(x)] = lim{x to a} f(x) – lim_{x to a} g(x)$
- Giới hạn của tích: $lim{x to a} [f(x) cdot g(x)] = lim{x to a} f(x) cdot lim_{x to a} g(x)$
- Giới hạn của thương: $lim{x to a} frac{f(x)}{g(x)} = frac{lim{x to a} f(x)}{lim{x to a} g(x)}$ (nếu $lim{x to a} g(x) neq 0$)
Phân Tích Bài 4 Trang 85 SGK Giải Tích 12
Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12 yêu cầu học sinh tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) $lim_{x to 2} frac{x^2 – 4}{x – 2}$
b) $lim_{x to 1} frac{x^3 – 1}{x – 1}$
c) $lim_{x to 0} frac{sqrt{1 + x} – 1}{x}$
d) $lim_{x to infty} frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 2x – 3}$
Giải Bài Tập
a) $lim_{x to 2} frac{x^2 – 4}{x – 2}$
Ta nhận thấy rằng tử số và mẫu số của biểu thức đều có chung nhân tử $(x – 2)$. Do đó, ta có thể rút gọn biểu thức:
$lim{x to 2} frac{x^2 – 4}{x – 2} = lim{x to 2} frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = lim_{x to 2} (x + 2) = 4$
b) $lim_{x to 1} frac{x^3 – 1}{x – 1}$
Tương tự như câu a), ta có thể rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$:
$lim{x to 1} frac{x^3 – 1}{x – 1} = lim{x to 1} frac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = lim_{x to 1} (x^2 + x + 1) = 3$
c) $lim_{x to 0} frac{sqrt{1 + x} – 1}{x}$
Để giải quyết bài toán này, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số:
$lim{x to 0} frac{sqrt{1 + x} – 1}{x} = lim{x to 0} frac{(sqrt{1 + x} – 1)(sqrt{1 + x} + 1)}{x(sqrt{1 + x} + 1)} = lim{x to 0} frac{1 + x – 1}{x(sqrt{1 + x} + 1)} = lim{x to 0} frac{1}{sqrt{1 + x} + 1} = frac{1}{2}$
d) $lim_{x to infty} frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 2x – 3}$
Để giải quyết bài toán này, ta chia tử và mẫu cho $x^2$:
$lim{x to infty} frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 2x – 3} = lim{x to infty} frac{2 – frac{3}{x} + frac{1}{x^2}}{1 + frac{2}{x} – frac{3}{x^2}} = frac{2 – 0 + 0}{1 + 0 – 0} = 2$
Lời Khuyên Từ Chuyên Gia
“Khi giải quyết bài toán giới hạn, điều quan trọng là phải nhận diện được dạng thức của biểu thức và lựa chọn phương pháp giải thích hợp. Việc áp dụng các định lý cơ bản về giới hạn và các kỹ thuật rút gọn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.” – GS.TS. Nguyễn Văn A, Chuyên gia Toán học
FAQ
1. Giới hạn của hàm số là gì?
Giới hạn của hàm số là một khái niệm cơ bản trong giải tích, nó miêu tả hành vi của hàm số khi biến số x tiến gần đến một giá trị nhất định.
2. Tại sao giới hạn của hàm số lại quan trọng?
Giới hạn của hàm số đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và các ngành khoa học khác, như:
- Xác định tính liên tục của hàm số
- Tính đạo hàm và tích phân
- Xây dựng các lý thuyết về hàm số
3. Làm thế nào để tìm giới hạn của hàm số?
Có nhiều phương pháp để tìm giới hạn của hàm số, bao gồm:
- Rút gọn biểu thức
- Sử dụng các định lý cơ bản về giới hạn
- Áp dụng các kỹ thuật giải tích như nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp
4. Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12 có ý nghĩa gì?
Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12 giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số, rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán cụ thể.
5. Tôi có thể tìm hiểu thêm về giới hạn của hàm số ở đâu?
Bạn có thể tìm hiểu thêm về giới hạn của hàm số trong các sách giáo khoa, tài liệu trực tuyến, hoặc tham khảo ý kiến của giáo viên hoặc chuyên gia.
Gợi ý các câu hỏi khác:
- Các dạng bài tập về giới hạn của hàm số?
- Các kỹ thuật giải toán giới hạn phổ biến?
- Ứng dụng của giới hạn trong cuộc sống?
Kêu gọi hành động:
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.