Bài 4 Trang 84 Sgk Giải Tích 12 là một trong những bài tập cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình học Toán 12. Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số luỹ thừa, một trong những khái niệm quan trọng trong Toán học và được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống.
Khái niệm về hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa là một hàm số có dạng (y = x^a), trong đó (a) là một số thực.
Ví dụ:
- (y = x^2) là một hàm số luỹ thừa với (a = 2).
- (y = x^{-1}) là một hàm số luỹ thừa với (a = -1).
Đặc điểm của hàm số luỹ thừa
Hàm số luỹ thừa có những đặc điểm sau:
- Miền xác định: Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của (a).
- Nếu (a) là số nguyên dương, miền xác định là toàn bộ tập số thực (mathbb{R}).
- Nếu (a) là số nguyên âm, miền xác định là (mathbb{R}setminus{0}).
- Nếu (a) là số hữu tỉ, miền xác định là (mathbb{R}) hoặc (mathbb{R}setminus{0}) tuỳ thuộc vào giá trị của (a).
- Nếu (a) là số vô tỉ, miền xác định là (mathbb{R}) hoặc một phần của (mathbb{R}) tuỳ thuộc vào giá trị của (a).
- Tính đơn điệu: Tính đơn điệu của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của (a) và miền xác định.
- Nếu (a > 0), hàm số luỹ thừa đồng biến trên miền xác định của nó.
- Nếu (a < 0), hàm số luỹ thừa nghịch biến trên miền xác định của nó.
- Sự biến thiên: Sự biến thiên của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào giá trị của (a) và miền xác định.
- Nếu (a > 0), hàm số luỹ thừa đồng biến trên miền xác định của nó và có giới hạn dương khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn âm khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Nếu (a < 0), hàm số luỹ thừa nghịch biến trên miền xác định của nó và có giới hạn âm khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn dương khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số luỹ thừa có dạng đặc trưng phụ thuộc vào giá trị của (a).
- Nếu (a > 0), đồ thị của hàm số luỹ thừa là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = x) khi (a) lớn hơn 1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = sqrt{x}) khi (a) nhỏ hơn 1.
- Nếu (a < 0), đồ thị của hàm số luỹ thừa là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/x) khi (a) lớn hơn -1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/sqrt{x}) khi (a) nhỏ hơn -1.
Bài 4 trang 84 SGK Giải tích 12: Phân tích và giải quyết
Bài 4 trang 84 SGK Giải tích 12 yêu cầu học sinh xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
- (y = x^3)
- (y = x^4)
- (y = x^{-2})
- (y = x^{-3})
Để giải bài toán này, học sinh cần áp dụng kiến thức về đặc điểm của hàm số luỹ thừa mà chúng ta đã phân tích ở trên.
Hàm số (y = x^3):
- Miền xác định: (mathbb{R})
- Tính đơn điệu: Hàm số đồng biến trên (mathbb{R})
- Sự biến thiên: Hàm số đồng biến trên (mathbb{R}), có giới hạn dương khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn âm khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = x) khi (x) lớn hơn 1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = sqrt{x}) khi (x) nhỏ hơn 1.
Hàm số (y = x^4):
- Miền xác định: (mathbb{R})
- Tính đơn điệu: Hàm số đồng biến trên ([0;+infty)), nghịch biến trên ((-infty;0])
- Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ((-infty;0]), đồng biến trên ([0;+infty)), có giới hạn dương khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn dương khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = x^2) khi (x) lớn hơn 1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = sqrt{x^2}) khi (x) nhỏ hơn 1.
Hàm số (y = x^{-2}):
- Miền xác định: (mathbb{R}setminus{0})
- Tính đơn điệu: Hàm số nghịch biến trên ((-infty;0)) và ((0;+infty))
- Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ((-infty;0)) và ((0;+infty)), có giới hạn dương khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn dương khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/x) khi (x) lớn hơn 1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/sqrt{x}) khi (x) nhỏ hơn 1.
Hàm số (y = x^{-3}):
- Miền xác định: (mathbb{R}setminus{0})
- Tính đơn điệu: Hàm số nghịch biến trên ((-infty;0)) và ((0;+infty))
- Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ((-infty;0)) và ((0;+infty)), có giới hạn âm khi (x) tiến tới dương vô cùng, có giới hạn dương khi (x) tiến tới âm vô cùng.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua điểm (O(0;0)), có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/x^2) khi (x) lớn hơn 1, và có dạng giống như đường cong của hàm số (y = 1/sqrt{x^3}) khi (x) nhỏ hơn 1.
Lưu ý khi giải bài toán
- Khi xét sự biến thiên của hàm số luỹ thừa, học sinh cần lưu ý đến miền xác định của hàm số.
- Khi vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa, học sinh cần chú ý đến dạng của đồ thị, điểm đặc biệt, và sự biến thiên của hàm số.
Lời khuyên từ chuyên gia
“Để nắm vững kiến thức về hàm số luỹ thừa, các em cần rèn luyện kỹ năng phân tích và tổng hợp thông tin. Hãy cố gắng hiểu rõ đặc điểm của hàm số luỹ thừa và áp dụng chúng vào việc giải các bài tập cụ thể.” – Giáo sư Nguyễn Văn A, chuyên gia Toán học
Kết luận
Bài 4 trang 84 SGK Giải tích 12 là một bài tập cơ bản nhưng rất hữu ích trong việc giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số luỹ thừa. Bằng cách phân tích và giải quyết bài tập này, học sinh sẽ nắm vững kiến thức về đặc điểm, sự biến thiên, và đồ thị của hàm số luỹ thừa, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
FAQ
Q: Hàm số luỹ thừa được ứng dụng trong những lĩnh vực nào?
A: Hàm số luỹ thừa được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kinh tế, tài chính, vật lý, hóa học, sinh học, và kỹ thuật. Ví dụ, hàm số luỹ thừa được sử dụng để mô hình hóa sự tăng trưởng của dân số, sự phát triển của kinh tế, sự phân rã phóng xạ, và nhiều hiện tượng khác.
Q: Làm sao để vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa một cách chính xác?
A: Để vẽ đồ thị của hàm số luỹ thừa một cách chính xác, bạn cần xác định miền xác định, tính đơn điệu, sự biến thiên, điểm đặc biệt, và dạng của đồ thị. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng các phần mềm đồ thị để tạo ra các đồ thị chính xác.
Q: Có những loại hàm số luỹ thừa nào khác ngoài các hàm số đã đề cập trong bài 4?
A: Ngoài các hàm số đã đề cập trong bài 4, còn có nhiều loại hàm số luỹ thừa khác, ví dụ như (y = x^{1/2}), (y = x^{1/3}), (y = x^{-1/2}), (y = x^{-1/3}), và nhiều hàm số khác.
Q: Làm sao để học tốt môn Toán 12?
A: Để học tốt môn Toán 12, bạn cần nắm vững kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, và thường xuyên ôn luyện. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo các tài liệu, sách giáo khoa, và website hỗ trợ học tập.
Kêu gọi hành động
Bạn muốn tìm hiểu thêm về hàm số luỹ thừa và các ứng dụng của nó? Hãy liên hệ với chúng tôi để được tư vấn và hỗ trợ!
Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.