Bạn đang tìm kiếm câu trả lời cho những bài tập trong sách giáo khoa Giải Tích 12, đặc biệt là bài 4 trang 44? Hãy cùng khám phá những bí mật của hàm số lũy thừa và các dạng bài tập phổ biến trong bài viết này!
Hàm số lũy thừa là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực Giải Tích. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng tăng trưởng, suy giảm và các quá trình biến đổi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, vật lý, hóa học…
Khám Phá Bí Mật Của Hàm Số Lũy Thừa
Định Nghĩa Hàm Số Lũy Thừa
Hàm số lũy thừa là một hàm số có dạng (y = x^n), trong đó:
- (x) là biến số,
- (n) là số thực.
Các Dạng Hàm Số Lũy Thừa
Có nhiều dạng hàm số lũy thừa, mỗi dạng có những đặc điểm riêng biệt về đồ thị và tính chất:
- Dạng 1: (y = x^n) với (n) là số nguyên dương.
- Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ (O),
- Đồ thị đối xứng qua trục tung khi (n) chẵn,
- Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O) khi (n) lẻ.
- Dạng 2: (y = x^n) với (n) là số nguyên âm.
- Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ (O),
- Đồ thị đối xứng qua trục tung khi (n) chẵn,
- Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ (O) khi (n) lẻ.
- Dạng 3: (y = x^n) với (n) là số hữu tỉ.
- Đồ thị hàm số có thể đi qua gốc tọa độ (O) hoặc không, tùy thuộc vào giá trị của (n).
- Đồ thị hàm số có thể đối xứng qua trục tung, trục hoành hoặc gốc tọa độ (O) tùy thuộc vào giá trị của (n).
Các Tính Chất Của Hàm Số Lũy Thừa
- Tính đơn điệu: Hàm số lũy thừa có tính đơn điệu trên các khoảng xác định của nó, nghĩa là hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên các khoảng đó.
- Tính chẵn lẻ: Hàm số lũy thừa (y = x^n) là hàm số chẵn khi (n) là số nguyên chẵn, là hàm số lẻ khi (n) là số nguyên lẻ.
- Tính giới hạn: Hàm số lũy thừa có giới hạn tại vô cùng, giới hạn tại 0 và giới hạn tại điểm (x = a).
Hướng Dẫn Giải Bài 4 Trang 44 Giải Tích 12
Bài 4 Trang 44 Giải Tích 12 yêu cầu bạn thực hiện các phép tính với hàm số lũy thừa, xác định tính đơn điệu và tính chẵn lẻ của hàm số. Để giải bài tập này, bạn cần nắm vững những kiến thức cơ bản về hàm số lũy thừa, bao gồm:
- Các dạng hàm số lũy thừa
- Các tính chất của hàm số lũy thừa
- Các phép tính với hàm số lũy thừa
Ví Dụ Minh Họa
Bài tập 1: Cho hàm số (y = x^3 – 3x).
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
c) Xét tính chẵn lẻ của hàm số.
Hướng dẫn:
- a) Tập xác định: Hàm số (y = x^3 – 3x) là hàm số đa thức nên tập xác định của nó là (D = mathbb{R}).
- b) Tính đơn điệu:
- Tính đạo hàm: (y’ = 3x^2 – 3).
- Cho (y’ = 0), ta được (x = 1) hoặc (x = -1).
- Xét dấu của (y’) trên các khoảng:
- (x < -1: y’ > 0) nên hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty, -1)).
- (-1 < x < 1: y’ < 0) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ((-1, 1)).
- (x > 1: y’ > 0) nên hàm số đồng biến trên khoảng ((1, +infty)).
- c) Tính chẵn lẻ: Hàm số (y = x^3 – 3x) là hàm số lẻ vì (y(-x) = (-x)^3 – 3(-x) = -x^3 + 3x = -y(x)).
Lưu Ý
Khi giải bài tập về hàm số lũy thừa, bạn cần chú ý:
- Tập xác định: Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của (n).
- Tính đơn điệu: Hàm số lũy thừa có tính đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.
- Tính chẵn lẻ: Hàm số lũy thừa có tính chẵn lẻ tùy thuộc vào giá trị của (n).
FAQ (Câu Hỏi Thường Gặp)
1. Hàm số lũy thừa (y = x^n) có dạng đồ thị như thế nào?
Trả lời: Dạng đồ thị của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của (n). Nếu (n) là số nguyên dương, đồ thị hàm số sẽ có dạng đường cong đi qua gốc tọa độ (O), đối xứng qua trục tung nếu (n) chẵn và đối xứng qua gốc tọa độ (O) nếu (n) lẻ. Nếu (n) là số nguyên âm, đồ thị hàm số sẽ có dạng đường cong không đi qua gốc tọa độ (O), đối xứng qua trục tung nếu (n) chẵn và đối xứng qua gốc tọa độ (O) nếu (n) lẻ. Nếu (n) là số hữu tỉ, đồ thị hàm số có thể đi qua gốc tọa độ (O) hoặc không, tùy thuộc vào giá trị của (n).
2. Làm sao để xác định tính đơn điệu của hàm số lũy thừa?
Trả lời: Để xác định tính đơn điệu của hàm số lũy thừa, bạn cần tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, nếu đạo hàm âm trên một khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
3. Làm sao để xác định tính chẵn lẻ của hàm số lũy thừa?
Trả lời: Hàm số lũy thừa (y = x^n) là hàm số chẵn khi (n) là số nguyên chẵn, là hàm số lẻ khi (n) là số nguyên lẻ.
4. Hàm số lũy thừa có ứng dụng nào trong thực tế?
Trả lời: Hàm số lũy thừa được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Kinh tế: Mô tả tốc độ tăng trưởng của GDP, lãi suất,…
- Vật lý: Mô tả các hiện tượng vật lý như chuyển động, lực,…
- Hóa học: Mô tả các phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng,…
- Công nghệ thông tin: Mô tả các thuật toán, mô hình dữ liệu,…
Kết Luận
Bài viết đã giúp bạn khám phá bí mật của hàm số lũy thừa, từ định nghĩa, các dạng hàm số, tính chất và cách giải bài tập. Với những kiến thức này, bạn có thể tự tin giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa Giải Tích 12 và tiếp tục khám phá thế giới toán học rộng lớn.
Hãy nhớ rằng, việc thực hành thường xuyên là chìa khóa để chinh phục những bài tập khó. Luôn ghi nhớ những kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán và đừng ngại hỏi khi gặp khó khăn. Chúc bạn học tốt!
Gợi ý:
- Bạn có muốn tìm hiểu thêm về các ứng dụng của hàm số lũy thừa trong thực tế?
- Bạn có muốn khám phá những khái niệm liên quan đến hàm số lũy thừa như đạo hàm, tích phân,…?