Hướng dẫn giải bài 2 trang 90 SGK Toán 12 Giải tích chi tiết

Bài 2 Trang 90 Sgk Toán 12 Giải Tích là một trong những bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về hàm số mũ và logarit. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn giải chi tiết bài tập, đồng thời phân tích sâu các khái niệm liên quan để giúp bạn đọc hiểu rõ và vận dụng kiến thức một cách hiệu quả.

Phân tích đề bài và kiến thức cần nhớ

Đề bài yêu cầu tìm tập xác định, đạo hàm và các điểm cực trị của hàm số. Để giải quyết bài toán, ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Tập xác định của hàm số mũ và logarit: Hàm số mũ xác định với mọi x thuộc R. Hàm số logarit chỉ xác định khi biểu thức dưới dấu logarit dương và cơ số lớn hơn 0, khác 1.
Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
- (e^x)’ = e^x
- (a^x)’ = a^x * ln(a)
- (ln(x))’ = 1/x
- (log_a(x))’ = 1/(x * ln(a))
Tìm điểm cực trị của hàm số: Điểm cực trị của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu. Để tìm điểm cực trị, ta cần:
1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm (hay còn gọi là điểm dừng).
3. Lập bảng xét dấu của y’ để xác định xem y’ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại) hay từ âm sang dương (cực tiểu) khi đi qua nghiệm.

Giải bài tập Toán 12

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2 trang 90 SGK Toán 12 Giải tích

Đề bài:

Cho hàm số y = (x^2 – 3x + 2) * e^x. Tìm:

a) Tập xác định của hàm số.
b) Đạo hàm của hàm số.
c) Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Lời giải:

a) Tìm tập xác định:

Hàm số đã cho là tích của một đa thức và một hàm số mũ. Đa thức xác định với mọi x thuộc R, hàm số mũ e^x cũng xác định với mọi x thuộc R. Do đó, hàm số đã cho xác định trên toàn bộ tập số thực R.

Vậy, tập xác định của hàm số là D = R.

b) Tìm đạo hàm:

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích (u*v)’ = u’v + uv’, ta có:

y’ = (x^2 – 3x + 2)’ e^x + (x^2 – 3x + 2) (e^x)’
= (2x – 3) e^x + (x^2 – 3x + 2) e^x
= e^x * (x^2 – x – 1)

*Vậy, đạo hàm của hàm số là y’ = e^x (x^2 – x – 1).**

c) Tìm điểm cực trị:

Bước 1: Giải phương trình y’ = 0:

e^x * (x^2 – x – 1) = 0

Vì e^x luôn dương với mọi x nên ta chỉ cần giải phương trình x^2 – x – 1 = 0.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm:

x1 = (1 + sqrt(5))/2
x2 = (1 – sqrt(5))/2

Bước 2: Lập bảng xét dấu của y’:

x	-∞	(1-√5)/2	(1+√5)/2	+∞
y’ = e^x(…)	–	+	–	+

Bước 3: Xét dấu của y’ và kết luận:

Tại x = (1 – sqrt(5))/2, y’ đổi dấu từ âm sang dương, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = (1 – sqrt(5))/2.
Tại x = (1 + sqrt(5))/2, y’ đổi dấu từ dương sang âm, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = (1 + sqrt(5))/2.

Vậy:

Hàm số đạt cực đại tại x = (1 + sqrt(5))/2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = (1 – sqrt(5))/2.

Tổng kết

Bài viết đã hướng dẫn giải chi tiết bài 2 trang 90 SGK Toán 12 Giải tích, bao gồm việc tìm tập xác định, đạo hàm và các điểm cực trị của hàm số. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn đọc nắm vững kiến thức về hàm số mũ và logarit, đồng thời tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị

FAQ

1. Làm thế nào để tìm tập xác định của hàm số logarit?

Để tìm tập xác định của hàm số logarit, ta cần đảm bảo biểu thức dưới dấu logarit dương và cơ số lớn hơn 0, khác 1.

2. Có công thức nào để tìm đạo hàm của hàm số mũ với cơ số bất kỳ không?

Có, công thức đạo hàm của hàm số mũ với cơ số a là (a^x)’ = a^x * ln(a).

3. Điểm cực trị của hàm số có ý nghĩa gì trong thực tế?

Điểm cực trị của hàm số cho biết điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trên một khoảng xác định. Điều này có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, vật lý, kỹ thuật để tìm giá trị tối ưu cho các đại lượng.

Bạn muốn tìm hiểu thêm về:

Liên hệ

Để được hỗ trợ thêm về các bài tập Toán học hoặc các vấn đề khác, vui lòng liên hệ với chúng tôi:

Số điện thoại: 02033846993
Email: [email protected]
Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam

Đội ngũ hỗ trợ khách hàng của chúng tôi luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7!