Bài 2 Trang 68 Sgk Giải Tích 12 là một trong những bài tập kinh điển, đòi hỏi sự kết hợp khéo léo giữa kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải quyết vấn đề. Bài tập này thường được sử dụng để củng cố và đánh giá khả năng vận dụng các công thức đạo hàm, tìm cực trị và khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Mục Tiêu Của Bài Tập
Bài tập này đặt ra mục tiêu giúp học sinh:
- Nắm vững các công thức đạo hàm và cách tính đạo hàm của các loại hàm số cơ bản.
- Biết cách tìm đạo hàm cấp hai và ứng dụng để xác định cực trị của hàm số.
- Rèn luyện khả năng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề toán học.
Phân Tích Bài Tập
Bài 2 trang 68 SGK Giải Tích 12 thường yêu cầu học sinh:
- Tính đạo hàm của hàm số: Học sinh cần áp dụng các công thức đạo hàm đã học để tính đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số: Học sinh cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xác định dấu của đạo hàm cấp hai tại các điểm đó.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Học sinh cần tìm giới hạn, khoảng đơn điệu, điểm cực trị, điểm uốn của hàm số và vẽ đồ thị của hàm số.
Cách Tiến Hành Giải Bài Tập
Để giải bài 2 trang 68 SGK Giải Tích 12 một cách hiệu quả, học sinh cần tuân theo các bước sau:
- Hiểu rõ đề bài: Đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài tập.
- Tính đạo hàm: Áp dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số.
- Tìm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Xác định dấu của đạo hàm cấp hai tại các điểm đó để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
- Khảo sát sự biến thiên: Tìm giới hạn, khoảng đơn điệu, điểm cực trị, điểm uốn của hàm số.
- Vẽ đồ thị: Sử dụng các thông tin thu được ở bước 4 để vẽ đồ thị của hàm số.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ: Cho hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
Giải:
- Tính đạo hàm: y’ = 3x^2 – 6x; y” = 6x – 6.
- Tìm cực trị: y’ = 0 <=> 3x^2 – 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2.
- y”(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
- y”(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
- Khảo sát sự biến thiên:
- Giới hạn: lim(x->-∞) y = -∞; lim(x->+∞) y = +∞.
- Bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | 0 | + |
| y | -∞ | 2 | -2 | +∞ |
| ↑ | CĐ | CT | ↑ |
- Vẽ đồ thị:
ve-do-thi-ham-so-y-bang-x-mu-3-tru-3-x-mu-2-cong-2|Vẽ đồ thị hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2|The graph of the function y = x^3 – 3x^2 + 2 shows a cubic function with a local maximum at x = 0 and a local minimum at x = 2. The graph is increasing on the intervals (-∞, 0) and (2, +∞), and decreasing on the interval (0, 2). The function has no horizontal asymptotes, but it has a vertical asymptote at x = -∞ and x = +∞.|
Lời khuyên
- Hãy đọc kỹ và hiểu rõ đề bài trước khi bắt đầu giải bài tập.
- Áp dụng các công thức đạo hàm một cách chính xác.
- Xác định rõ các điểm đặc biệt của hàm số như điểm cực trị, điểm uốn, giới hạn.
- Sử dụng bảng biến thiên để giúp bạn dễ dàng khảo sát sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị của hàm số một cách chính xác và đầy đủ.
Câu hỏi thường gặp
- Làm sao để xác định điểm uốn của hàm số?
- Điểm uốn của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu.
- Tại sao cần phải khảo sát sự biến thiên của hàm số?
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số, như khoảng đơn điệu, cực trị, điểm uốn, và giúp chúng ta vẽ đồ thị của hàm số một cách chính xác.
- Làm sao để tìm giới hạn của hàm số?
- Sử dụng các phương pháp tìm giới hạn đã học để xác định giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ hoặc -∞.
- Làm sao để xác định dấu của đạo hàm cấp hai tại các điểm nghi ngờ là cực trị?
- Thay giá trị của x vào công thức đạo hàm cấp hai để xác định dấu của nó. Nếu y” > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x. Ngược lại, nếu y” < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x.
Kết luận
Bài 2 trang 68 SGK Giải Tích 12 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số. Bằng cách tuân theo các bước giải và áp dụng các kiến thức đã học, học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và đạt được kết quả tốt.