Bài tập đại số 11 chương 3 thường gây nhiều khó khăn cho học sinh bởi nội dung khá phức tạp, bao gồm các bài toán về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Để giúp các bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập này, bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn giải chi tiết, cũng như những lưu ý quan trọng cần nắm vững.
Dãy Số – Nền Tảng Quan Trọng
Trước khi đi vào tìm hiểu cách giải các bài tập cụ thể, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản về dãy số.
Khái Niệm Dãy Số
Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một quy luật nhất định. Mỗi số trong dãy số được gọi là một số hạng.
Ví dụ:
- Dãy số chẵn: 2, 4, 6, 8, …
- Dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7, …
- Dãy số Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Cách Xác Định Quy Luật Của Dãy Số
Để xác định quy luật của một dãy số, ta cần quan sát sự thay đổi giữa các số hạng liền kề. Từ đó, ta có thể tìm ra công thức tổng quát hoặc công thức truy hồi để biểu diễn dãy số.
Ví dụ:
Với dãy số 2, 4, 6, 8, …, ta có thể thấy mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó 2 đơn vị.
- Công thức tổng quát: $u_n = 2n$ (với n là số tự nhiên khác 0)
- Công thức truy hồi: $u_1 = 2$, $un = u{n-1} + 2$ (với n là số tự nhiên lớn hơn 1)
Cấp Số Cộng – Tính Chất Và Cách Giải Bài Tập
Cấp số cộng là một dạng đặc biệt của dãy số, trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số.
Định Nghĩa Cấp Số Cộng
Cấp số cộng là một dãy số $(un)$ có tính chất sau: $u{n+1} = u_n + d$ với mọi $n ge 1$, trong đó d là một hằng số, được gọi là công sai.
Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Cộng
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_n)$ có công sai d được xác định bởi công thức:
$u_n = u_1 + (n-1)d$
Tính Chất Của Cấp Số Cộng
Cấp số cộng có một số tính chất quan trọng sau:
- Ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng lập thành một cấp số cộng.
- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức: $S_n = frac{n}{2}(u_1 + u_n)$
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Cấp Số Cộng
Để giải bài tập cấp số cộng, ta thường sử dụng các tính chất đã nêu trên.
Ví dụ:
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u1 = 3$ và $d = 2$. Tìm $u{10}$ và $S_{10}$.
Giải:
- Tìm $u{10}$: Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có: $u{10} = u_1 + 9d = 3 + 9.2 = 21$
- Tìm $S{10}$: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên, ta có: $S{10} = frac{10}{2}(u1 + u{10}) = 5(3 + 21) = 120$
Cấp Số Nhân – Tính Chất Và Cách Giải Bài Tập
Cấp số nhân là một dạng đặc biệt khác của dãy số, trong đó tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số.
Định Nghĩa Cấp Số Nhân
Cấp số nhân là một dãy số $(un)$ có tính chất sau: $u{n+1} = u_n . q$ với mọi $n ge 1$, trong đó q là một hằng số khác 0, được gọi là công bội.
Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Nhân
Số hạng tổng quát của cấp số nhân $(u_n)$ có công bội q được xác định bởi công thức:
$u_n = u_1 . q^{n-1}$
Tính Chất Của Cấp Số Nhân
Cấp số nhân có một số tính chất quan trọng sau:
- Ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân lập thành một cấp số nhân.
- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: $S_n = u_1 . frac{1-q^n}{1-q}$ (với $q ne 1$)
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Cấp Số Nhân
Để giải bài tập cấp số nhân, ta thường sử dụng các tính chất đã nêu trên.
Ví dụ:
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2$ và $q = 3$. Tìm $u_5$ và $S_5$.
Giải:
- Tìm $u_5$: Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có: $u_5 = u_1 . q^4 = 2 . 3^4 = 162$
- Tìm $S_5$: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên, ta có: $S_5 = u_1 . frac{1-q^5}{1-q} = 2 . frac{1-3^5}{1-3} = 242$
Kết Luận
Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập cơ bản. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập đại số 11 chương 3.