Hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia. Nắm vững 21 Công Thức Giải Nhanh Hàm Số dưới đây sẽ giúp các em học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, nâng cao hiệu quả ôn tập và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
Công Thức Tính Đạo Hàm Cấp Cao
1. Công thức Leibniz
Công thức Leibniz
Công thức Leibniz cho phép tính đạo hàm cấp n của tích hai hàm số u(x) và v(x):
(u(x)v(x))(n) = Σk=0n (nCk)u(n-k)(x)v(k)(x)
Trong đó:
- (nCk) là tổ hợp chập k của n phần tử (n!/(k!(n-k)!)).
- u(n-k)(x) là đạo hàm cấp (n-k) của u(x).
- v(k)(x) là đạo hàm cấp k của v(x).
2. Đạo Hàm Cấp n của Một Số Hàm Số Cơ Bản
- (sin(x))(n) = sin(x + nπ/2)
- (cos(x))(n) = cos(x + nπ/2)
- (ex)(n) = ex
- (xm)(n) = m(m-1)…(m-n+1)xm-n (n ≤ m)
Công Thức Tính Giới Hạn
3. Giới Hạn của Hàm Số Phân Thức
Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu: limx→±∞ f(x) = 0
Nếu bậc tử bằng bậc mẫu: limx→±∞ f(x) = tỉ số hệ số của số hạng có bậc cao nhất của tử và mẫu.
Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu: limx→±∞ f(x) = ±∞ (dấu phụ thuộc vào dấu của hệ số của số hạng có bậc cao nhất của tử và mẫu).
4. Giới Hạn Sử Dụng Vô Cùng Bé Tương Đương
- sin(x) ~ x khi x → 0
- tan(x) ~ x khi x → 0
- 1 – cos(x) ~ x2/2 khi x → 0
- ln(1+x) ~ x khi x → 0
- ex – 1 ~ x khi x → 0
Công Thức Tính Tiệm Cận
5. Tiệm Cận Đứng
x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
- limx→a+ f(x) = ±∞
- limx→a- f(x) = ±∞
6. Tiệm Cận Ngang
y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
- limx→+∞ f(x) = b
- limx→-∞ f(x) = b
7. Tiệm Cận Xiên
y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:
- limx→+∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
- limx→-∞ [f(x) – (ax + b)] = 0
Công Thức Tính Nguyên Hàm
8. Nguyên Hàm Cơ Bản
- ∫xndx = (xn+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
- ∫(1/x)dx = ln|x| + C
- ∫exdx = ex + C
- ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
- ∫cos(x)dx = sin(x) + C
9. Phương Pháp Đổi Biến Số
Nếu u = u(x) là hàm số khả vi và có đạo hàm liên tục, thì:
∫f(u(x))u'(x)dx = ∫f(u)du
10. Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần
∫udv = uv – ∫vdu
Công Thức Tính Diện Tích và Thể Tích
11. Diện Tích Hình Phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là:
S = ∫ab |f(x)|dx
12. Thể Tích Khối Tròn Xoay
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục hoành là:
Vx = π∫ab f2(x)dx
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d (c < d) quanh trục tung là:
Vy = π∫cd g2(y)dy
Ứng dụng giải tích trong bóng đá
Mối Liên Hệ Giữa Các Đại Lượng Trong Hàm Số
13. Mối Quan Hệ Giữa Đạo Hàm Và Tính Đơn Điệu
- f'(x) > 0 trên khoảng (a,b) => f(x) đồng biến trên khoảng (a,b)
- f'(x) < 0 trên khoảng (a,b) => f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b)
14. Mối Quan Hệ Giữa Đạo Hàm Và Cực Trị
- f'(x) = 0 và f”(x) < 0 tại x = x0 => f(x) đạt cực đại tại x = x0
- f'(x) = 0 và f”(x) > 0 tại x = x0 => f(x) đạt cực tiểu tại x = x0
15. Mối Quan Hệ Giữa Đạo Hàm Và Điểm Uốn
- f”(x) = 0 và f”'(x) ≠ 0 tại x = x0 => Đồ thị hàm số f(x) có điểm uốn tại x = x0
Một Số Công Thức Khác
16. Công Thức Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Góc giữa hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ được tính bởi:
tanα = |(a – a’)/(1 + aa’)|
17. Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính bởi:
d(M, Δ) = |Ax0 + By0 + C|/√(A2 + B2)
18. Công Thức Viết Phương Trình Tiếp Tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0, y0) là:
y = f'(x0)(x – x0) + y0
19. Công Thức Tính Độ Dài Đoạn Thẳng
Độ dài đoạn thẳng AB với A(xA, yA) và B(xB, yB) được tính bởi:
AB = √[(xB – xA)2 + (yB – yA)2]
20. Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác
Diện tích tam giác ABC với A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) được tính bởi:
SABC = 1/2 |(xB – xA)(yC – yA) – (xC – xA)(yB – yA)|
21. Công Thức Viết Phương Trình Đường Tròn
Phương trình đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Kết Luận
Trên đây là 21 công thức giải nhanh hàm số hy vọng sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học tập và ôn thi. Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác hơn. Tuy nhiên, việc áp dụng thành thạo các công thức này đòi hỏi các em phải thường xuyên luyện tập và làm bài tập.
Bạn muốn nâng cao kỹ năng giải toán của mình? Hãy xem thêm bài giảng thầy Bùi Xuân Diệu giải tích 1, bài giảng giải tích 1 Nguyễn Duy Tiến và 21 công thức giải nhanh chuyên đề hàm số.