Tích vô hướng là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong hình học và đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những Bài Tập Có Lời Giải Về Tích Vô Hướng, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo lời giải chi tiết và những phân tích sâu sắc.
Ngay sau khi tìm hiểu xong bài viết này, bạn có thể tham khảo thêm giải bài tập toán lớp 7 đơn thức.
Tích Vô Hướng của Hai Vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ được định nghĩa là một số, ký hiệu là $vec{a} cdot vec{b}$, bằng tích độ dài của hai vectơ nhân với cosin của góc giữa chúng.
Tính Chất của Tích Vô Hướng
- $vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$ (Tính giao hoán)
- $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ (Tính phân phối)
- $(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b})$ (Tính kết hợp với phép nhân vô hướng)
- $vec{a} cdot vec{a} = |vec{a}|^2$
Minh họa tính chất tích vô hướng
Bài Tập Cơ Bản về Tích Vô Hướng
Bài 1: Cho hai vectơ $vec{a} = (2, 3)$ và $vec{b} = (-1, 4)$. Tính tích vô hướng $vec{a} cdot vec{b}$.
Lời giải: $vec{a} cdot vec{b} = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10$.
Bài 2: Cho hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ có độ dài lần lượt là 3 và 5, và góc giữa chúng là $60^circ$. Tính tích vô hướng $vec{u} cdot vec{v}$.
Lời giải: $vec{u} cdot vec{v} = |vec{u}||vec{v}|cos(60^circ) = (3)(5)(frac{1}{2}) = frac{15}{2} = 7.5$.
Có thể bạn quan tâm đến bài tập đại số quan hệ sql có lời giải.
Ví dụ bài tập cơ bản về tích vô hướng
Bài Tập Nâng Cao về Tích Vô Hướng
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, và góc BAC = $120^circ$. Tính BC.
Lời giải: Sử dụng định lý cosin: $BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2AB cdot AC cdot cos(120^circ) = 16 + 25 – 2(4)(5)(-frac{1}{2}) = 41 + 20 = 61$. Vậy $BC = sqrt{61}$.
Bài 4: Chứng minh rằng hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $vec{a} cdot vec{b} = 0$.
Lời giải: Nếu $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc, thì góc giữa chúng là $90^circ$. Do đó, $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|cos(90^circ) = 0$. Ngược lại, nếu $vec{a} cdot vec{b} = 0$, thì $|vec{a}||vec{b}|cos(theta) = 0$. Nếu $vec{a}$ và $vec{b}$ khác vectơ không, thì $cos(theta) = 0$, tức là $theta = 90^circ$. Vậy $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc.
Ví dụ bài tập nâng cao về tích vô hướng
Kết luận
Bài viết này đã cung cấp cho bạn những bài tập có lời giải về tích vô hướng, từ cơ bản đến nâng cao. Hiểu rõ về tích vô hướng sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán trong hình học và đại số tuyến tính. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này. Bạn có thể xem thêm cách giải bài toán tìm gtln gtnn lớp 9 và bài giải vo cùng em học toán lớp 3.
FAQ
- Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
- Làm thế nào để tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian hai chiều?
- Tích vô hướng có những tính chất gì?
- Khi nào hai vectơ vuông góc với nhau?
- Ứng dụng của tích vô hướng trong hình học là gì?
- Làm thế nào để tính góc giữa hai vectơ bằng tích vô hướng?
- Tích vô hướng có thể áp dụng trong vật lý như thế nào?
Mô tả các tình huống thường gặp câu hỏi.
Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc phân biệt tích vô hướng và tích có hướng. Tích vô hướng cho kết quả là một số, trong khi tích có hướng cho kết quả là một vectơ.
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web.
Bạn có thể tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan như vectơ, hình học không gian, và đại số tuyến tính trên website của chúng tôi. Xem thêm phim ông trùm giải nghệ.