Xác suất thống kê là một môn học quan trọng trong nhiều ngành học khác nhau, từ kinh tế, tài chính đến y học, kỹ thuật. Môn học này cung cấp kiến thức cơ bản về xác suất, phân phối xác suất và các phương pháp thống kê để thu thập, phân tích và diễn giải dữ liệu. Để thành thạo môn học này, việc luyện tập giải bài tập là điều vô cùng cần thiết.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một loạt bài tập và lời giải chi tiết về xác suất thống kê, bao gồm các chủ đề cơ bản như:
- Xác suất cơ bản: Xác suất của một sự kiện, xác suất có điều kiện, xác suất độc lập, quy luật Bayes
- Phân phối xác suất: Phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối chuẩn
- Thống kê suy luận: Kiểm định giả thuyết, ước lượng tham số
- Phân tích dữ liệu: Biểu diễn dữ liệu, đo lường xu hướng trung tâm, đo lường độ phân tán
Bài Tập Và Lời Giải Xác Suất Thống Kê Cơ Bản
Xác Suất Của Một Sự Kiện
Bài 1: Một chiếc hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Tính xác suất để viên bi đó là màu đỏ.
Lời giải:
- Tổng số viên bi: 5 + 3 + 2 = 10
- Số viên bi đỏ: 5
- Xác suất lấy được viên bi đỏ: 5/10 = 1/2
Xác Suất Có Điều Kiện
Bài 2: Một hộp có 20 bóng đèn, trong đó có 5 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất để cả 2 bóng đèn đều bị hỏng, biết rằng bóng đèn đầu tiên bị hỏng.
Lời giải:
- Xác suất bóng đèn thứ nhất bị hỏng: 5/20 = 1/4
- Sau khi lấy ra 1 bóng đèn bị hỏng, còn lại 19 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng.
- Xác suất bóng đèn thứ hai bị hỏng (sau khi bóng đèn thứ nhất bị hỏng): 4/19
- Xác suất để cả 2 bóng đèn đều bị hỏng, biết rằng bóng đèn đầu tiên bị hỏng: (1/4) * (4/19) = 1/19
Xác Suất Độc Lập
Bài 3: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt 6.
Lời giải:
- Xác suất gieo được mặt 6 ở lần gieo thứ nhất: 1/6
- Xác suất gieo được mặt 6 ở lần gieo thứ hai: 1/6
- Hai lần gieo độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt 6: (1/6) * (1/6) = 1/36
Quy Luật Bayes
Bài 4: Một bệnh viện có 2% bệnh nhân bị nhiễm virus X. Một xét nghiệm chẩn đoán virus X có độ chính xác 95%, tức là 95% bệnh nhân bị nhiễm virus X sẽ có kết quả xét nghiệm dương tính, và 95% bệnh nhân không bị nhiễm virus X sẽ có kết quả xét nghiệm âm tính. Nếu một bệnh nhân có kết quả xét nghiệm dương tính, tính xác suất bệnh nhân đó bị nhiễm virus X.
Lời giải:
- Gọi A là sự kiện bệnh nhân bị nhiễm virus X, B là sự kiện bệnh nhân có kết quả xét nghiệm dương tính.
- Xác suất bệnh nhân bị nhiễm virus X: P(A) = 0.02
- Xác suất bệnh nhân không bị nhiễm virus X: P(A’) = 1 – P(A) = 0.98
- Xác suất xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân bị nhiễm virus X: P(B|A) = 0.95
- Xác suất xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: P(B|A’) = 0.05
- Áp dụng quy luật Bayes:
P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / [P(B|A) P(A) + P(B|A’) P(A’)]
P(A|B) = [0.95 0.02] / [0.95 0.02 + 0.05 0.98] = 0.27
Vậy, xác suất bệnh nhân bị nhiễm virus X khi có kết quả xét nghiệm dương tính là 0.27.
Bài Tập Và Lời Giải Phân Phối Xác Suất
Phân Phối Nhị Thức
Bài 5: Một công ty sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn bị lỗi là 5%. Lấy ngẫu nhiên 10 bóng đèn. Tính xác suất để có đúng 2 bóng đèn bị lỗi.
Lời giải:
- Gọi X là số bóng đèn bị lỗi trong 10 bóng đèn.
- X tuân theo phân phối nhị thức với n = 10, p = 0.05.
- Xác suất để có đúng 2 bóng đèn bị lỗi: P(X = 2) = (10 choose 2) (0.05)^2 (0.95)^8 = 0.0746.
Phân Phối Poisson
Bài 6: Một trung tâm dịch vụ khách hàng nhận được trung bình 5 cuộc gọi mỗi giờ. Tính xác suất để trung tâm nhận được 3 cuộc gọi trong 30 phút.
Lời giải:
- Gọi X là số cuộc gọi trong 30 phút.
- X tuân theo phân phối Poisson với lambda = 5/2 = 2.5 (vì trung bình mỗi 30 phút nhận được 2.5 cuộc gọi).
- Xác suất để trung tâm nhận được 3 cuộc gọi trong 30 phút: P(X = 3) = (e^(-2.5) * (2.5)^3) / 3! = 0.2138.
Phân Phối Chuẩn
Bài 7: Chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là 175 cm và độ lệch chuẩn là 5 cm. Tính xác suất để một nam giới trưởng thành có chiều cao từ 170 cm đến 180 cm.
Lời giải:
- Gọi X là chiều cao của một nam giới trưởng thành.
- X tuân theo phân phối chuẩn với mu = 175 cm và sigma = 5 cm.
- Xác suất để một nam giới trưởng thành có chiều cao từ 170 cm đến 180 cm: P(170 <= X <= 180) = P(Z <= (180 – 175)/5) – P(Z <= (170 – 175)/5) = P(Z <= 1) – P(Z <= -1) = 0.6827.
Bài Tập Và Lời Giải Thống Kê Suy Luận
Kiểm Định Giả Thuật
Bài 8: Một nhà sản xuất tuyên bố rằng tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty sản xuất là 1000 giờ. Để kiểm tra tuyên bố này, một nhà nghiên cứu đã lấy mẫu ngẫu nhiên 50 bóng đèn và đo tuổi thọ trung bình của mẫu là 980 giờ. Với độ tin cậy 95%, hãy kiểm tra xem tuyên bố của nhà sản xuất có đúng hay không?
Lời giải:
- Giả thuyết không: H0: mu = 1000
- Giả thuyết đối: H1: mu != 1000
- Cấp độ ý nghĩa: alpha = 0.05
- Thống kê kiểm định: t = (x̄ – mu) / (s/√n) = (980 – 1000) / (50/√50) = -2.83
- Giá trị p: 2 * P(T <= -2.83) = 0.0068
- Kết luận: Vì giá trị p (0.0068) < alpha (0.05), ta bác bỏ giả thuyết không. Có bằng chứng thống kê đủ mạnh để cho thấy tuổi thọ trung bình của bóng đèn không phải là 1000 giờ.
Ước Lượng Tham Số
Bài 9: Một công ty muốn ước lượng tỷ lệ khách hàng hài lòng với sản phẩm mới. Họ đã tiến hành khảo sát trên 200 khách hàng và nhận được 160 phản hồi tích cực. Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng hài lòng với sản phẩm mới với độ tin cậy 99%.
Lời giải:
- Ước lượng điểm: p̂ = 160/200 = 0.8
- Ước lượng khoảng: p̂ ± zα/2 √(p̂(1-p̂)/n) = 0.8 ± 2.576 √(0.8(1-0.8)/200) = (0.73, 0.87)
Vậy, với độ tin cậy 99%, tỷ lệ khách hàng hài lòng với sản phẩm mới nằm trong khoảng từ 73% đến 87%.
Bài Tập Và Lời Giải Phân Tích Dữ Liệu
Biểu Diễn Dữ Liệu
Bài 10: Cho bảng dữ liệu về số lượng xe ô tô được bán ra trong 5 năm gần đây:
| Năm | Số lượng xe |
|---|---|
| 2018 | 100 |
| 2019 | 120 |
| 2020 | 150 |
| 2021 | 180 |
| 2022 | 200 |
Hãy vẽ biểu đồ cột để biểu diễn dữ liệu này.
Lời giải:
Sử dụng biểu đồ cột để trực quan hóa dữ liệu về số lượng xe ô tô được bán ra trong 5 năm gần đây. Trục tung biểu thị số lượng xe, trục hoành biểu thị năm. Mỗi cột đại diện cho số lượng xe bán ra trong một năm.
Đo Lường Xu Hướng Trung Tâm
Bài 11: Cho tập dữ liệu sau: 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25. Hãy tính trung bình, trung vị và mode của tập dữ liệu này.
Lời giải:
- Trung bình: (10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25) / 7 = 17.43
- Trung vị: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần: 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25. Trung vị là giá trị ở giữa (giá trị thứ 4) là 18.
- Mode: Tập dữ liệu này không có mode vì không có giá trị nào xuất hiện nhiều hơn các giá trị khác.
Đo Lường Độ Phân Tán
Bài 12: Cho tập dữ liệu sau: 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của tập dữ liệu này.
Lời giải:
- Phương sai: s^2 = Σ(xi – x̄)^2 / (n-1) = [(10-17.43)^2 + (12-17.43)^2 + … + (25-17.43)^2] / (7-1) = 35.71
- Độ lệch chuẩn: s = √s^2 = √35.71 = 5.97
Kết Luận
Bài viết đã giới thiệu một loạt bài tập và lời giải chi tiết về xác suất thống kê, bao gồm các chủ đề cơ bản như xác suất cơ bản, phân phối xác suất, thống kê suy luận và phân tích dữ liệu. Việc luyện tập giải bài tập là điều vô cùng cần thiết để bạn có thể hiểu rõ và vận dụng kiến thức xác suất thống kê một cách hiệu quả.
Hãy tiếp tục tìm hiểu và thực hành để nâng cao kỹ năng của bạn!