Phương trình lượng giác 2sin(2x) + sin²(x) = 2cos²(x) là một dạng bài tập phổ biến trong chương trình toán học lớp 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải chi tiết phương trình này, đồng thời cung cấp những kiến thức bổ trợ giúp bạn nắm vững cách giải các bài toán lượng giác tương tự.
Phân tích Phương Trình Lượng Giác
Để giải phương trình 2sin(2x) + sin²(x) = 2cos²(x), trước tiên ta cần biến đổi phương trình về dạng cơ bản, sử dụng các công thức lượng giác quen thuộc:
- Công thức nhân đôi: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
- Công thức cơ bản: sin²(x) + cos²(x) = 1
Áp dụng các công thức trên, ta có:
2(2sin(x)cos(x)) + sin²(x) = 2(1 - sin²(x))
4sin(x)cos(x) + sin²(x) = 2 - 2sin²(x)
3sin²(x) + 4sin(x)cos(x) - 2 = 0 Giải Phương Trình Bậc Hai Theo sin(x)
Đến đây, ta có thể coi phương trình như một phương trình bậc hai ẩn sin(x):
3t² + 4tcos(x) - 2 = 0 (với t = sin(x))Để giải phương trình bậc hai này, ta tính delta:
Δ' = (2cos(x))² - 3.(-2) = 4cos²(x) + 6Do cos²(x) ≥ 0 nên Δ’ > 0 với mọi x.
Phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt:
t₁ = (-2cos(x) + √(4cos²(x) + 6))/3
t₂ = (-2cos(x) - √(4cos²(x) + 6))/3Tìm Nghiệm x
Thay t = sin(x) trở lại, ta được hai phương trình lượng giác cơ bản:
sin(x) = (-2cos(x) + √(4cos²(x) + 6))/3 (1)
sin(x) = (-2cos(x) - √(4cos²(x) + 6))/3 (2)Giải hai phương trình (1) và (2) ta sẽ tìm được các nghiệm x của phương trình ban đầu.
Lưu ý Quan Trọng
- Việc giải các phương trình lượng giác cơ bản (1) và (2) có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụ như sử dụng công thức cộng, biến đổi về dạng tích, hoặc sử dụng máy tính cầm tay.
- Cần chú ý đến điều kiện của nghiệm x (thường là thuộc khoảng cho trước) để loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn.
Kết Luận
Việc giải chi tiết phương trình lượng giác 2sin(2x) + sin²(x) = 2cos²(x) đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt các công thức lượng giác và kỹ năng giải phương trình. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết dạng bài tập này.