Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12 là một trong những bài tập cơ bản giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức về hàm số và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12, đồng thời mở rộng kiến thức và ứng dụng của bài toán vào thực tế.
Khám phá Lời Giải Bài Tập 2 Trang 30 SGK Giải Tích 12
Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x^3 + 3x^2 – 4
b) y = -x^3 + 3x^2 – 4
Lời giải:
a) Hàm số y = x^3 + 3x^2 – 4
-
Tập xác định: D = R
-
Sự biến thiên:
-
Giới hạn:
- lim(x->-∞) y = -∞
- lim(x->+∞) y = +∞
-
Đạo hàm: y’ = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)
-
Bảng biến thiên:
-
| x | -∞ | -2 | 0 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | + | 0 | – | 0 |
| y | -∞ | 0 | -4 | -4 |
-
Điểm uốn: y” = 6x + 6 = 0 <=> x = -1. Vậy hàm số có điểm uốn là (-1, -6).
-
Đồ thị:
- Giao với trục tung: x = 0 => y = -4
- Giao với trục hoành: y = 0 <=> x^3 + 3x^2 – 4 = 0 <=> (x-1)(x+2)^2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = -2
b) Hàm số y = -x^3 + 3x^2 – 4
-
Tập xác định: D = R
-
Sự biến thiên:
-
Giới hạn:
- lim(x->-∞) y = +∞
- lim(x->+∞) y = -∞
-
Đạo hàm: y’ = -3x^2 + 6x = -3x(x – 2)
-
Bảng biến thiên:
-
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y’ | – | 0 | + | 0 |
| y | +∞ | -4 | 0 | 0 |
-
Điểm uốn: y” = -6x + 6 = 0 <=> x = 1. Vậy hàm số có điểm uốn là (1, -2).
-
Đồ thị:
- Giao với trục tung: x = 0 => y = -4
- Giao với trục hoành: y = 0 <=> -x^3 + 3x^2 – 4 = 0. Phương trình này có thể giải bằng phương pháp Cardano hoặc sử dụng máy tính.
Ứng Dụng Thực Tế của Bài Toán Khảo Sát Hàm Số
Bài toán khảo sát hàm số và vẽ đồ thị không chỉ là kiến thức toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt là trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, vật lý…
Ví dụ:
- Trong kinh tế: Hàm số có thể được sử dụng để mô tả chi phí sản xuất, doanh thu, lợi nhuận… Từ đó, các nhà kinh tế có thể sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị, điểm uốn, từ đó đưa ra quyết định tối ưu cho doanh nghiệp.
- Trong kỹ thuật: Hàm số có thể mô tả quỹ đạo chuyển động của vật thể, cường độ dòng điện, điện áp… Đạo hàm giúp tính toán vận tốc, gia tốc, từ đó thiết kế và điều khiển các thiết bị, hệ thống một cách hiệu quả.
- Trong vật lý: Hàm số được sử dụng rộng rãi trong cơ học, nhiệt động lực học, quang học… Đạo hàm giúp tính toán các đại lượng vật lý như vận tốc, gia tốc, năng lượng…
Kết Luận
Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12 là bài tập cơ bản nhưng quan trọng, giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về khảo sát hàm số. Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải tốt các bài tập trong sách giáo khoa mà còn có thể ứng dụng vào thực tế, giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về các bài tập toán lớp 5 có giải? Hãy xem bài tập tìm x lớp 5 có giải.