Quy tắc đếm là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, là nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao ở lớp 12 và các cấp học cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức chi tiết về quy tắc đếm, kèm theo lời giải chi tiết cho các bài tập minh họa, giúp bạn tự tin chinh phục dạng bài tập này.
Quy Tắc Cộng: Cộng Khi Có Sự Lựa Chọn
Quy tắc cộng được áp dụng khi ta cần đếm số cách thực hiện một công việc nào đó, mà công việc đó có thể được chia thành nhiều trường hợp khác nhau, mỗi trường hợp có một số cách thực hiện riêng biệt.
Công thức: Nếu có k trường hợp, trường hợp thứ i có ni cách thực hiện và các trường hợp đôi một không giao nhau thì có tổng cộng n1 + n2 + … + nk cách thực hiện công việc.
Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 quả bóng xanh và 3 quả bóng đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một quả bóng bất kỳ từ hộp?
Lời giải:
Có hai trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp 1: Chọn một quả bóng xanh, có 5 cách.
- Trường hợp 2: Chọn một quả bóng đỏ, có 3 cách.
Theo quy tắc cộng, có 5 + 3 = 8 cách chọn ra một quả bóng bất kỳ từ hộp.
Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết chỉ được đi qua B đúng một lần?
Lời giải:
- Trường hợp 1: Đi từ A đến B theo con đường thứ nhất, sau đó từ B đến C có 2 cách.
- Trường hợp 2: Đi từ A đến B theo con đường thứ hai, sau đó từ B đến C có 2 cách.
- Trường hợp 3: Đi từ A đến B theo con đường thứ ba, sau đó từ B đến C có 2 cách.
Theo quy tắc cộng, có 2 + 2 + 2 = 6 cách đi từ thành phố A đến thành phố C.
Ví dụ về quy tắc cộng
Quy Tắc Nhân: Nhân Khi Thực Hiện Liên Tiếp Các Công Đoạn
Quy tắc nhân được sử dụng khi ta cần đếm số cách thực hiện một công việc nào đó, mà công việc đó có thể được chia thành nhiều công đoạn thực hiện liên tiếp nhau, mỗi công đoạn có một số cách thực hiện riêng biệt.
Công thức: Giả sử một công việc nào đó có thể chia thành k công đoạn, công đoạn thứ i có ni cách thực hiện. Khi đó, số cách thực hiện công việc là n1 n2 … * nk.
Ví dụ 3: Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ để tham gia đội văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
Công việc chọn một học sinh nam và một học sinh nữ có thể được chia thành hai công đoạn:
- Công đoạn 1: Chọn một học sinh nam, có 20 cách.
- Công đoạn 2: Chọn một học sinh nữ, có 15 cách.
Theo quy tắc nhân, có 20 * 15 = 300 cách chọn.
Ví dụ 4: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A?
Lời giải:
Xét việc lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ tập A như một công việc gồm 3 công đoạn:
- Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng trăm, có 5 cách chọn.
- Công đoạn 2: Chọn chữ số hàng chục, có 4 cách chọn (vì đã chọn một chữ số cho hàng trăm).
- Công đoạn 3: Chọn chữ số hàng đơn vị, có 3 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có 5 4 3 = 60 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu.
Minh họa quy tắc nhân
Phân Biệt Quy Tắc Cộng Và Quy Tắc Nhân
Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân. Điểm mấu chốt để phân biệt hai quy tắc này là:
- Quy tắc cộng: Áp dụng khi công việc có thể được thực hiện theo một trong nhiều cách khác nhau (hoặc trường hợp này, hoặc trường hợp kia).
- Quy tắc nhân: Áp dụng khi công việc được thực hiện theo từng công đoạn liên tiếp (vừa thực hiện công đoạn này, vừa thực hiện công đoạn kia).
Luyện Tập Bài Tập Quy Tắc Đếm Lớp 11 Có Lời Giải
Để nắm vững kiến thức về quy tắc đếm, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau đây:
Bài tập 1: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp có 30 học sinh để tham gia vệ sinh lớp học?
Bài tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó chữ số hàng nghìn là chữ số chẵn và các chữ số khác nhau?
Bài tập 3: Một túi đựng 6 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi sao cho:
- a) Có đủ 3 màu.
- b) Có ít nhất 2 màu.
Lời giải:
Các bạn hãy thử sức giải các bài tập trên và so sánh với đáp án của chúng tôi. Chúc các bạn học tốt!
Kết Luận
Bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về quy tắc đếm, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.
Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và ôn luyện môn Toán lớp 11. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi nhé!