Bài tập về bất phương trình mũ có lời giải

Bất phương trình mũ là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về bất phương trình mũ, các phương pháp giải, cũng như một số bài tập có lời giải chi tiết.

1. Khái niệm về bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ là bất phương trình có dạng:

$a^{f(x)} > b$
$a^{f(x)} < b$
$a^{f(x)} ge b$
$a^{f(x)} le b$

Trong đó:

$a$ là cơ số của lũy thừa, với $a > 0$ và $a neq 1$
$f(x)$ là một biểu thức chứa ẩn $x$
$b$ là một số thực cho trước

2. Các phương pháp giải bất phương trình mũ

2.1. Sử dụng tính chất của lũy thừa

Nếu $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)$
Nếu $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) < g(x)$

2.2. Đưa về cùng cơ số

Nếu hai vế của bất phương trình có cùng cơ số, ta có thể sử dụng tính chất:

$a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (nếu $a > 1$)
$a^{f(x)} > a^{g(x)} Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (nếu $0 < a < 1$)

2.3. Đặt ẩn phụ

Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình về dạng đơn giản hơn, dễ giải hơn.

2.4. Sử dụng bảng xét dấu

Phương pháp này áp dụng cho các bất phương trình có dạng:

$a^{f(x)} – b ge 0$
$a^{f(x)} – b le 0$

3. Bài tập về bất phương trình mũ có lời giải

Bài tập 1:

Giải bất phương trình: $2^{x+1} > 8$

Lời giải:

Ta có: $8 = 2^3$.

Do đó, $2^{x+1} > 8 Leftrightarrow 2^{x+1} > 2^3 Leftrightarrow x + 1 > 3 Leftrightarrow x > 2$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 2$.

Bài tập 2:

Giải bất phương trình: $3^{2x} < 9^{x-1}$

Lời giải:

Ta có: $9 = 3^2$.

Do đó, $3^{2x} < 9^{x-1} Leftrightarrow 3^{2x} < 3^{2(x-1)} Leftrightarrow 2x < 2(x-1) Leftrightarrow 0 < -2$ (vô lí).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Bài tập 3:

Giải bất phương trình: $2^{x^2 – 3x + 2} ge 1$

Lời giải:

Ta có: $1 = 2^0$.

Do đó, $2^{x^2 – 3x + 2} ge 1 Leftrightarrow 2^{x^2 – 3x + 2} ge 2^0 Leftrightarrow x^2 – 3x + 2 ge 0 Leftrightarrow (x – 1)(x – 2) ge 0$.

Bảng xét dấu:

x	-∞	1	2	+∞
x – 1	–	0	+	+
x – 2	–	–	0	+
P(x)	+	0	0	+

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x le 1$ hoặc $x ge 2$.

Bài tập 4:

Giải bất phương trình: $5^{x^2 – 4x + 3} > 125$

Lời giải:

Ta có: $125 = 5^3$.

Do đó, $5^{x^2 – 4x + 3} > 125 Leftrightarrow 5^{x^2 – 4x + 3} > 5^3 Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 > 3 Leftrightarrow x^2 – 4x > 0 Leftrightarrow x(x – 4) > 0$.

Bảng xét dấu:

x	-∞	0	4	+∞
x	–	0	+	+
x – 4	–	–	0	+
P(x)	+	0	0	+

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 0$ hoặc $x > 4$.

4. Kết luận

Bài viết đã cung cấp kiến thức cơ bản về bất phương trình mũ, các phương pháp giải và một số bài tập có lời giải chi tiết. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này và giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.

FAQ:

Q: Bất phương trình mũ có thể giải bằng máy tính cầm tay không?
A: Có, một số loại máy tính cầm tay có thể giải được bất phương trình mũ. Tuy nhiên, bạn cần tìm hiểu kỹ hướng dẫn sử dụng của máy tính.
Q: Làm sao để biết khi nào nên sử dụng phương pháp nào để giải bất phương trình mũ?
A: Bạn nên phân tích kỹ dạng bất phương trình và lựa chọn phương pháp phù hợp. Ví dụ, nếu hai vế của bất phương trình có cùng cơ số, bạn có thể sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Q: Có tài liệu nào khác về bất phương trình mũ mà tôi có thể tham khảo?
A: Bạn có thể tìm kiếm thêm thông tin trên các trang web giáo dục, sách giáo khoa hoặc tham khảo ý kiến của giáo viên.

Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web:

Kêu gọi hành động: Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.