Giải bài tập chương 2 Giải tích 12 Violet: Hướng dẫn chi tiết và bài tập minh họa

Khám phá thế giới đạo hàm và ứng dụng với bài tập chương 2 Giải tích 12 Violet
Chương 2 Giải tích 12 là bước tiến quan trọng, đưa học sinh đến với khái niệm đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc khảo sát hàm số. Để nắm vững kiến thức này, việc luyện tập thông qua bài tập chương 2 Giải tích 12 Violet là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết và bài tập minh họa, giúp bạn tự tin chinh phục chương học đầy thú vị này.

Đạo hàm: Khái niệm và ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀) hoặc y'(x₀), là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀) và số gia của đối số Δx khi Δx dần tới 0.

Công thức tính đạo hàm:

f'(x<sub>0</sub>) = lim (Δy/Δx) khi Δx -> 0

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm f'(x₀) chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm cơ bản

Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và chính xác, bạn cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản sau:

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
- (u + v)’ = u’ + v’
- (u – v)’ = u’ – v’
- (u.v)’ = u’.v + u.v’
- (u/v)’ = (u’.v – u.v’)/v² (với v ≠ 0)
Đạo hàm của hàm số hợp:
- [f(u(x))]’ = f'(u).u'(x)

Bên cạnh đó, bạn cũng cần ghi nhớ bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản:

Hàm số (u = u(x))	Đạo hàm (u’)
uⁿ (n ∈ R)	n.u^n-1.u’
√u	u’/(2√u)
1/u	-u’/u²
sin u	u’.cos u
cos u	-u’.sin u
tan u	u’/cos²u
cot u	-u’/sin²u
e^u	u’.e^u
ln u	u’/u

Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số

Đạo hàm là công cụ hữu hiệu giúp chúng ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số một cách chi tiết và chính xác. Cụ thể, đạo hàm được ứng dụng để:

Xét tính đơn điệu của hàm số:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ (a; b).
Tìm cực trị của hàm số:
- Điều kiện cần: Hàm số f(x) đạt cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0.
- Điều kiện đủ:
  - Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.
  - Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút của đoạn/khoảng đang xét để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số

Bài tập minh họa

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:

a) y = x³ – 2x² + 5x – 1

b) y = sin(2x + π/3)

c) y = e^{x^2 – 3x}

Lời giải:

a) y’ = 3x² – 4x + 5

b) y’ = (2x + π/3)’.cos(2x + π/3) = 2cos(2x + π/3)

c) y’ = (x² – 3x)’.e^{x^2 – 3x} = (2x – 3)e^{x^2 – 3x}

Bài 2: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2.

a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

b) Tìm các cực trị của hàm số.

Lời giải:

a) Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 6x = 3x(x – 2)

Cho y’ = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. Lập bảng xét dấu:

x	-∞	0	2	+∞
y’	+	0	–	0
y		CĐ		CT

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) Từ bảng xét dấu, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = -2.

Luyện tập thêm với bài tập chương 2 Giải tích 12 Violet

Để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm bộ bài tập chương 2 Giải tích 12 trên Vio

Kết luận

Bài tập chương 2 Giải tích 12 Violet là tài liệu hữu ích giúp bạn ôn tập và nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng. Bằng cách luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin chinh phục các bài toán và đạt kết quả cao trong học tập.

Bạn cần hỗ trợ?

Liên hệ ngay với chúng tôi:

Số điện thoại: 02033846993
Email: [email protected]
Địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam

Đội ngũ tư vấn của chúng tôi luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn 24/7!