Bài 6 Trang 18 Sgk Giải Tích 12 là một bài toán điển hình trong chương trình Toán học lớp 12, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm và bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Bài toán này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề.
Phân Tích Bài Toán Và Phương Pháp Giải
Đề bài thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) của một hàm số y = f(x) trên một đoạn [a, b] cho trước. Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:
-
Tìm tập xác định của hàm số: Xác định miền giá trị của x mà tại đó hàm số f(x) xác định.
-
Tính đạo hàm f'(x): Đây là bước quan trọng để khảo sát sự biến thiên của hàm số.
-
Tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0 và các giá trị x làm f'(x) không xác định: Các giá trị này được gọi là điểm cực trị của hàm số.
-
Lập bảng biến thiên: Bảng biến thiên cho ta cái nhìn tổng quan về sự biến thiên của hàm số, từ đó xác định được các điểm cực đại, cực tiểu và khoảng đồng biến, nghịch biến.
-
So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút a, b của đoạn: Giá trị lớn nhất trong số các giá trị này chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [a, b] và ngược lại.
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài 6 trang 18 SGK Giải Tích 12, chúng ta hãy cùng phân tích một ví dụ cụ thể:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2 trên đoạn [-1, 2].
Bài giải:
-
Tập xác định: Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực R, do đó xác định trên đoạn [-1, 2].
-
Đạo hàm: y’ = 3x^2 – 6x
-
Nghiệm của phương trình y’ = 0:
3x^2 – 6x = 0 <=> x = 0 hoặc x = 2. -
Bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y’ | + | + | 0 | 0 | + |
| y | ↗ | 0 | 2 | 0 | ↗ |
- So sánh:
- f(-1) = 0
- f(0) = 2
- f(2) = 0
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1, 2] là 2, đạt được tại x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1, 2] là 0, đạt được tại x = -1 và x = 2.
Mở Rộng Kiến Thức
Ngoài phương pháp sử dụng bảng biến thiên, ta còn có thể áp dụng một số phương pháp khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số như:
-
Sử dụng tính chất của hàm số: Ví dụ, nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên đoạn [a, b] thì giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn đó chính là giá trị của hàm số tại điểm b (hoặc a).
-
Sử dụng định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thuộc khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x0 thì f'(x0) = 0.
-
Sử dụng đồ thị: Vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn [a, b] và quan sát để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Việc thành thạo các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan đến chương trình Giải Tích lớp 12, đồng thời tạo nền tảng vững chắc cho việc học tập các môn học nâng cao hơn trong tương lai.
Kết Luận
Bài 6 trang 18 SGK Giải Tích 12 là một bài toán quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm, bảng biến thiên và ứng dụng vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. Bằng việc nắm vững phương pháp giải và thường xuyên luyện tập, học sinh sẽ nhanh chóng nâng cao khả năng giải toán và đạt kết quả cao trong học tập.
Câu hỏi thường gặp:
- Khi nào nên sử dụng bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số?
Nên sử dụng bảng biến thiên khi hàm số phức tạp và khó có thể xác định được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách trực tiếp.
- Có những phương pháp nào khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số?
Ngoài bảng biến thiên, bạn có thể sử dụng tính chất của hàm số, định lý Fermat hoặc đồ thị.
- Làm thế nào để xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số?
Dựa vào dấu của đạo hàm: Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Tại sao cần phải tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0 khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số?
Nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là các điểm cực trị của hàm số, tại đó hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
- Nếu hàm số không có đạo hàm tại một điểm nào đó trên đoạn [a, b] thì có tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó không?
Vẫn có thể tìm được. Lúc này, ta cần so sánh giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt khác như điểm không có đạo hàm, điểm làm cho f'(x) không xác định và hai đầu mút a, b của đoạn.
Bạn muốn tìm hiểu thêm về:
- Cung mọc Cự Giải? Xem ngay tại đây: cung mọc cự giải.
Liên hệ:
Nếu bạn cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 02033846993, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: X2FW+GGM, Cái Lân, Bãi Cháy, Hạ Long, Quảng Ninh, Việt Nam. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.